Aksjomat Wolfik: Uzasadnij, że liczba A=³√2+√5+³√2−√5 jest liczbą całkowitą. podniosłem to wyrażenie do potęgi trzeciej i doszedłem do tego: A³=3√2+√5*³√2−√5+3³√2+√5*√2−√5+4 co dalej z tym zrobić?

Blee: tragedia zadanie polega na zauważeniu, że można zapisać: 2 + √5 = (a+b)³ 2 − √5 = (a−b)³ i wyznaczeniu takich a i b które spełniają ten układ

Blee: druga sprawa ... jak już robisz jak robisz to niby z jakiej racji: (³√2 + √5)² = √2+√5

Wolfik: dlaczego 2+√5=(a+b)³?

Adamm: nie zgadzam się z tym co napisałeś Blee 17:42 To zadanie można rozwiązać w inny sposób, i nie trzeba wcale tego zauważać, więc zadanie na tym nie polega.

Wolfik: czyli jeśli miałbym np. √2+√5/()² to wyjdzie nam 2+√5 a jeśli ³√2+√5/()² to ile wyjdzie?

Blee: (³√2+√5)² = ³√(2+√5)² = ³√4 + 4√5 + 5 = ³√9 + 4√5

Blee: Adamm ... to może inaczej −−− jest to jeden ze sposobów rozwiązania tego zadania no i masz rację ... podniesienie wszystkiego do ³ będzie łatwiejsze (w tym przypadku) ponieważ: (9+4√5)(2−√5) = 18 − 9√5 + 8√5 − 20 = −2−√5 (9−4√5)(2+√5) = 18 + 9√5 − 8√5 − 20 = −2+√5 więc otrzymamy: A³ = −3A + 4 ⇔ A³ + 3A − 4 = 0 ⇔ A³ − A² + A² − A + 4A − 4 = 0 ⇔ (A−1)(A² + A + 4) = 0 więc A = 1

ABC: Wolfik możesz tak robić ale : 1) poprawnie przekształcaj 2)będziesz potrzebował własności wielomianów trzeciego stopnia

Blee: chociaż to nadal wymaga zauważenia tego ... czy jest jakiś sposób 'czysto mechaniczny' ?!

a@b:

	1+√5		1−√5
(		)3=2+√5 i (		)3=2−√5
	2		2

	1+√5		1−√5
L=		+		= ...=1
	2		2

jc: Czy liczba ³√8+√15 + ³√8−√15 jest liczbą wymierną?

Wolfik: nie umiem tego sprawdzic, mam podniejsc to do potegi 3?

Bleee: JC podał liczbę niewymierna. Najlepiej podnieść ³, zrobić analogiczny wielomian co wcześniej i z tego wnioskować.

PW: Zauważmy, że liczby ³√√5+2 i ³√√5−2 są swoimi odwrotnościami, w takim sensie, że jeśli

	1
pierwszą z nich oznaczyć symbolem t, to druga jest równa		.
	t

	1		1
Jest też oczywiste, że 0<t<2 i 0<		<1. Jedyną możliwością, by badana liczba t −
	t		t

była całkowita, jest

	1
(*) t −		= 1, t>0
	t

t² − t − 1 = 0 Δ = 5

	1 + √5
t =
	2

Rozwiązanie znaleźliśmy, pozostaje sprawdzić czy rzeczywiście ozwiązaniem równania (*) jest liczba ³√2+√5, to znaczy czy

	1 + √5
		= 3√2+√5
	2

, co jest oczywiste po podniesieniu obu stron do potęgi trzeciej. a@b zna te liczby pod panieńskim nazwiskiem i "z męża", więc mogła od razu napisać rozwiązanie.

a@b: