aksjomat Wolfik: Udowodnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych nie może być kwadratem liczby naturalnej. zacząłem tak: n²+(n+1)²+(n+2)²≠k², k należy do naturalnych n²+n²+2n+1+n²+4n+4≠k² 2n²+5n+4≠k² co dalej?

Szkolniak: n²+(n+1)²+(n+2)²=3n²+6n+5=3(n²+2n+1)+2 (suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2) Zauważ, że kwadraty kolejnych liczb naturalnych przy dzieleniu przez 3 zawsze dają resztę 0 lub 1: 1) 1/3 = 0 r 1 2) 4/3 = 1 r 1 3) 9/3 = 3 r 0 4) 16/3 = 5 r 1 5) 25/3 = 8 r 1 6) 36/3= 12 r 0 Zatem suma ta nie może być kwadratem liczby naturalnej, ponieważ nasza daje resztę 2

ite: Czasem łatwiej jest dowodzić, zapisując trzy kolejne liczby naturalne tak: (n−1)²+n²+(n+1)², n∊ℕ i n>0 Wtedy suma ma prostszą postać i taką samą resztę 3n²+2 Wolfik Nie możesz od razu zapisać, że ta suma nie jest równa kwadratowi liczby naturalnej, bo to jest teza i masz ją dopiero wykazać.

Wolfik: teraz pytanie, czy dobrze zrozumiałem polecenie: suma trzech kolejnych liczb naturalnych np. 1²+2²+3² nie może być kwadratem liczby naturalnej dlatego, że nie powinna wyjść z tego reszta?w tym moim przykładzie suma wynosi 14, a żeby była kwadratem powinno dać się z niej wyciągnąć pierwiastek? np √16=4 ?

Szkolniak: "a żeby była kwadratem" − przed chwilą przecież był dowód na to że nie może być kwadratem w sumie chyba takie zagłębianie się tutaj niepotrzebne jest

Wolfik: czyli udowodniliśmy, że nie jest kwadratem, ponieważ wychodzi reszta, a nie powinna

Szkolniak: Nie jest kwadratem, ponieważ wychodzi reszta 2.

Wolfik: dziękuję za pomoc

Wolfik: a właśnie, skąd było wiadomo, że trzeba zapisać 3n²+6n+5 jako 3(n²+2n+1)+2?

Szkolniak: Ten zapis pokazuje, że jeśli te liczbę dzielisz przez 3 to wychodzi Ci reszta 2, a skąd było wiadomo? Wydaje mi się że głównie to kwestia ilości przerobionych zadań, im więcej tym więcej będziesz dostrzegał i więcej pomysłów do głowy wpadnie