3 pytania do homomorfizmów grup. kasia: 1. Czy homomorfizm grup jest monomorfizmem tylko wtedy, gdy wskutek przekształcenia na element neutralny drugiej grupy przechodzi wyłącznie element neutralny pierwszej grupy? 2. Czy zbiór wszystkich macierzy stopnia 2 nad liczbami rzeczywistymi będzie grupą ze względu na dodawanie, jak i mnożenie? 3. Czy istnieje epimorfizm LICZBY CAŁKOWITE → LICZBY WYMIERNE? Skoro liczby całkowite zawierają się w wymiernych, to jakby "wymiar" jest mniejszy. I wydaje mi się, że nie może istnieć taki epimorfizm, jednak jest to chyba za słaby argument, ponieważ nie zakładamy różnowartościowości.

kasia: 2. Wydaje mi się, że nie, bo przecież nie będziemy mieli macierzy odwrotnej do macierzy zerowej. A gdyby wziąć wszystkie macierze bez tej zerowej?

kasia: 2. Nie, to wciąż nie xD Przecież, jak będzie wyznacznik 0 to klops. Musielibyśmy wciąż tylko nieosobliwe. Wtedy mnożenie już chyba okej

Adamm: 1. Dziwnie ułożone zdanie, ale niech będzie. Mamy monomorfizm grup h. Wtedy h(e) = e bo h to homomorfizm grup. Ale jeśli x≠e, to h(x) ≠ h(e) = e, bo jest różnowartościowy. 2. Tak, dokładnie. Jeśli wziąć same macierze nieosobliwe z mnożeniem, to jest to grupa. Nawet ma własną nazwę. Nie jest to grupa jeśli wziąć wszystkie macierze. Z dodawaniem to oczywiście grupa. 3. Niech f:Z→Q będzie homomorfizmem. Wtedy f(n) = nf(1), zatem f(Z) = f(1)Z ≠ Q.