Napisać równania prostych i płaszczyzn. HELP! Lucio: Napisać równania ogólne i parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez (a) punkty A = (0, 3, 1), B = (1, 0, −1) i C = (2, −2, −2); (b) punkt P = (2, 1, −1), której wektor normalny to n = (1, −2, 3); (c) punkt (3, 4, −5) i równoległej do dwóch wektorów a = (3, 1, −1) i b = (1, −2, 1); Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostej przechodzącej przez (a) dwa punkty (1, 1, −2) i (3, −1, 0); (b) punkt P = (2, 1, −1), której wektor kierunkowy to n = (1, −2, 3) (e) punkt M1 = (2, 3, −5) i równoległej do prostej

⎧	3x − y + 2z − 7 = 0
⎩	x + 3y − 2z + 3 = 0 ;

Witam, bardzo proszę o wytłumaczenie powyższych przykładów. Na wykładnie temat był przerabiany bardzo szybko i chaotycznie a ćwiczeń nie mieliśmy i nie będziemy mieć bo na następnych jest kolokwium a mamy zrobić kilka zadań z geometrii analitycznej bo inaczej nie zaliczy się kursu, a szczerze ogarniam bardzo niewiele i zwracam się do was o pomoc tylko o zrobienie i wytłumaczenie powyższych przykładów żebym mógł zrobić nastepne zadania.

jc: Zacznę od prostych. (b) (x,y,z)=P + t v, to definicja prodtej U nas P=(2,1,−2), v=(1,−2,3). (x,y,z)=(2,1,−2) + t(1,−2,3) Inaczej x = 2 + t y= 1 −2t z=−2+3t (a) Dwa punkty: A, B, wyznaczają kierunek prostej: v=B−A. W ten sposób zadanie sprowadza się do zadania (a). U nas A=(1,1,−2), B=(3,−1,0), v=B−A=(2,−2,2). Wektor v możemy zastąpić dowolnym niezerowym wektorem równoległym do v, np. (1,−1,1). Mamy x=1+t y=1−t z=−2+t (c) Przecięcie dwóch nierównoległych płaszczyzn wyznacza prostą. 3x−y+2z=7 x+3y−2z=−3 Liczby po prawej stronie równania nie mają znaczenia dla zadania. Pomijając je, otrzymamy prostą równoległą do oryginalnej, przechodzącą przez (0,0,0). Jak wyznaczyć kierunek prostej? 3x−y+2z=7 4x+2y=−4 3x−y+2z=7 2x+y=−2 x możemy wybrać jako parametr. x=t y=−2−2t z=(7−2−2t−3t)/2=5/2 −5t/2 Odczytujemy wektor v wyznaczający kierunek prostej: v=(1,−2,−5/2) lub równoległy (2,−4,−5). W ten sposób zadanie sprowadza się do podpunktu (b). Wektor kierunkowy prostej możemy też znaleźć korzystając z gotowca. Przecinające się płaszczyzny są prostopadłe do wektorów (3,−2,2), (1,3,−2). Przypomnę: płaszczyzna ax+by+cz+d=0 jest prostopadła do wektora n=(a,b,c). Kierunek przecięcia będzie prostopadły do dwóch wypisanych wektorów. Gotowy wzór to iloczyn wektorowy: (3,−1,2)x (1,3,−2) = (−4, 8, 10), wektor równoległy (2,−4,−5).