Ekstremum funkcji Nowy: Mógłby ktoś wytłumaczyć mi o co z tym chodzi lub podać linka do tematu ,bo nie wiem czy to jest to samo co wyższych rzędów (https://blog.etrapez.pl/ekstrema-funkcji-liczone-pochodnymi-wyzszych-rzedow/) ,,warunek wystarczajacy na istnienie ekstremum funkcji jednej zmiennej z wykorzystaniem drugiej pochodnej’’ lub jakieś inne linki do strony z wytłumaczeniem bym prosił

Jack: Musisz koniecznie z wykorzystaniem wyższych rzędów, a nie może być "wężyk" drugiej pochodnej?

Blee: warunek wystarczający na to aby x=x₀ było ekstremum lokalnym jest następujące: wartości wszystkich kolejnych pochodnych funkcji f(x) do (2k−1)'tego rzędu włącznie w punkcie x=x₀ są równe 0, natomiast wartość pochodnej rzędu 2k jest różna od zera (w tymże punkcie) −−− wtedy funkcja posiada ekstremum lokalne w tymże właśnie punkcie.

Nowy: Mam w zagadnieniach na egzamin ,,warunek wystarczający na istnienie ekstremum funkcji jednej zmiennej z wykorzystaniem drugiej pochodnej" jak jest możliwość możesz mi oba wysłać to oba tematy zgłębie

Blee: znajomość drugiej pochodnej nie zawsze mówi nam o tym, czy w danym punkcie na pewno jest ekstremum czy nie, natomiast wykorzystując 'metodę wężyka' od razu wiemy gdzie jest ekstremum, a gdzie tylko punkt przegięcia (chociaż wszystkich punktów przegięcia także nie musimy znać)

Blee: 21:16 w praktyce f(x) = x² f'(x) = 2x −> f'(0) = 0 <−−− punkt 'podejrzany' o bycie ekstremum lokalnym f''(x) = 2 −> f''(0) = 2 ≠ 0 <−−− wniosek: x=0 jest ekstremum lokalnym funkcji f(x)

Blee: inny przykład: f(x) = x⁴ f'(x) = 4x³ −> f'(0) = 0 <−−− punkt 'podejrzany' f''(x) = 12x² −> f''(0) = 0 <−−− punkt nadal 'podejrzany' f'''(x) = 24x −> f'''(0) = 0 <−−−− nadal podejrzany f^IV(x) = 24 −> f^IV(0) = 24 ≠0 <−−− ufff ... w końcu .. wiec to jest nasze ekstremum lokalne

Blee: i na dokładkę: f(x) = x³ f'(x) = 3x² −> f'(0) = 0 <−−−− punkt 'podejrzany' f''(x) = 6x −> f''(0) = 0 <−−− punkt nadal podejrzany f'''(x) = 6 −> f'''(0) = 6 ≠0 <−−− chwila moment, ale to jest nieparzysta pochodna ... czyli x=0 NIE JEST ekstremum lokalnym funkcji f(x) <tylko punktem przegięcia>

Blee: a metodę wężyka na pewno mieliście na ćwiczeniach w ramach zadań: "zbadaj monotoniczność funkcji i określ ekstrema funkcji"

Blee: A co do zagadnienia: ,,warunek wystarczający na istnienie ekstremum funkcji jednej zmiennej z wykorzystaniem drugiej pochodnej" Dla funkcji f: X−>Y klasy co najmniej C², mamy: f'(x₀) = 0 ∧ f''(x₀) ≠ 0 ∧ x₀ ∊ X jest warunkiem wystarczającym, aby funkcja f(x) miała ekstremum lokalne w punkcie x₀

ite: Możesz zajrzeć do tego wykładu: https://www.youtube.com/watch?time_continue=210&v=8kpaZw84LQM

ite: poprawiam link https://www.youtube.com/watch?v=8kpaZw84LQM&list=PLRc6a9k_z6Mns4XI3m5k9qzjo8Bv1Qt9H&index=54

Jerzy: @Blee ? ,warunkiem wystarczającym jest zmiana znaku pierwszej pochodnej w jej miejscu zerowym.

Nowy: Dziękuje bardzo ,za pomoc i wytłumaczenie 😊😊😊