zbieżność punktowa i jednostajna - definicje desperatos: Proszę o wskazanie błędu w rozumowaniu. Wiem że z definicji zbieżności punktowej nie wynika definicja zbieżności jednostajnej, jednak nie rozumiem dlaczego. Zał: X−zbiór, X≠∅ Y−przestrzeń metryczna f_n:X→Y Definicja zbieżności punktowej f_n: ∀ x ∊ X ∀ ε>0 ∃ N ∊ naturalnych ∀ n>N d(f_n(x), f(x)) < ε Definicja zbieżności jednostajnej f_n: ∀ ε>0 ∃ N ∊ naturalnych ∀ n>N ∀ x ∊ X d(f_n(x), f(x)) < ε gdzie d jest metryką przestrzeni Y. Ok przejdźmy do pytania. Z Definicji zbieżności punktowej wynika że dla każdego x i ε możemy znaleźć N spełniające warunek. Dla danego ε znajdźmy więc takie N dla każdego x∊X i największe ze znalezionych N oznaczmy N₀. Teraz znalezione N₀ wraz z ε powinno spełniać definicję zbieżności jednostajnej f_n (ponieważ dla każdego n>N₀ i dla każdego x zajdzie warunek d(f_n(x), f(x)) < ε) ). A więc jeśli ciąg spełnia definicję zbieżności punktowej to spełnia też definicję zbieżności jednostajnej, co w rzeczywistości nie jest prawdą. Bardzo proszę o wskazanie błędu.

Adamm: 'Wiem że z definicji zbieżności punktowej nie wynika definicja zbieżności jednostajnej, jednak nie rozumiem dlaczego.' Np. f_n(x) = xⁿ, x∊[0, 1]

Adamm: 'Dla danego ε znajdźmy więc takie N dla każdego x∊X i największe ze znalezionych N oznaczmy N₀.' Skąd wiesz, że istnieje największe takie N₀ ?

desperatos: Załóżmy że nie istnieje takie N₀. Wówczas ∀N>0∃x∊X∃n>N d(f_n(x), f(x)) > ε (w przeciwnym razie pewne N spełnia założenia N₀), a co za tym idzie f_n nie jest zbieżny punktowo co jest sprzeczne z założeniami

desperatos: "Dla danego ε znajdźmy więc takie N dla każdego x∊X i największe ze znalezionych N oznaczmy N₀." Przy czym muszę dodać że wystarczy że N₀ będzie większe lub równe od każdego z N, nie musi koniecznie być największym elementem tak jak to opisałem wcześniej.

Adamm: popatrzmy na f(x) = xⁿ. Dla dowolnego N, można wybrać sobie taki n>N i x∊[0, 1), że f(x) > 1/2

Adamm: czyli nie jest to sprzeczne ze zbieżnością punktową

desperatos: No racja, dzięki

desperatos: Ok, załapałem o co z tym chodzi, stokrotne dzięki

Blee: Adamm w sumie wyjaśnił na przykładzie, ja tylko odniosę się do samych definicji: 1) Definicja zbieżności punktowej mówi: dla każdego x bierzemy ε dowolny i dobieramy N 2) Definicja zbieżności jednostajnej mówi: dla każdego ε dobieramy N W efekcie −−− W zbieżności jednostajnej dobieramy N w zależności od ε (mamy N(ε) ) podczas gdy przy zbieżności punktowej mamy N(x,ε) O ile N(ε) jest niezależny od x, o tyle N(x,ε) już nie jest. Jako, że jest to jedyna różnica w definicjach, musimy zauważyć, że zbieżność jednostajna jest 'mocniejszym kryterium' niż zbieżność punktowa (skoro znaleźliśmy takie N, które 'jest dobre' dla tego konkretnego ε i DOWOLNEGO x, to tym bardziej to N będzie dobre dla tego konkretnego ε i jakiegoś konkretnego x ... ale już w drugą stronę to niekoniecznie będzie się zgadzać).