analiza
analiza:
Funkcja g jest funkcja calkowalna na przedziale [c, d] oraz S
i to suma Riemanna funkcji g dla
| 1 | |
podzialu przedzialu [ci, di] na podprzedzialy dlugosci |
| . |
| i | |
[c
i, d
i]⊂[c, d], c
i→c oraz d
i→d (przy i→
∞). Wowczas dla dowolnego ε dodatniego dla prawie
kazdego i mamy |S
i−∫
cd g(x) dx|<ε.
Jak to udowodnic?
25 gru 15:17
Adamm:
trudno, żeby ci→c i di→d jednocześnie gdy [ci, di] ma długość 1/i
25 gru 15:21
Adamm: Jak definiujesz całkę Riemanna?
25 gru 15:25
analiza:
lim Si=∫cd g(x) dx
i→∞
25 gru 15:43
Adamm:
więc wynika to wprost z definicji
25 gru 15:47
analiza:
Czyli jak to zapisac?
25 gru 15:48
Adamm:
a co to znaczy, że limi→∞ Si = ∫cd g(x) dx ?
25 gru 15:54
analiza:
granica sumy Riemanna dazy do calki
25 gru 15:58
jc: Chodzi o definicję granicy.
Sj → G oznacza, że dla każdego ε>0, |Sj − G|<ε dla prawie wszystkich j,
tzn. dla wszystkich j poza jakimś skończonym zbiorem, co jest równoważne temu,
że dla j większych od pewnego n0 zachodzi rozważana nierówność.
25 gru 16:07
analiza:
A dla jakiego ε to bedzie dobre?
25 gru 16:22
Blee:
dla każdego
zobacz sobie def. Cauchy'ego.
I piszesz:
1) Skoro lim
i−>∞ S
i = ∫
cd g(x) dx, to
2) ciąg {S
i}
i=1∞ oraz jego granica postaci ∫
cd g(x) dx spełnia definicję Cauchy'ego
granicy ciągu (i podajesz definicję)
25 gru 16:48
analiza:
A jak calka Riemanna bylaby inaczej zdefiniowana?
25 gru 22:04
jc: W posiadanych przeze mnie podręcznikach całka R definiowana jest
poprzez sumy dolne i górne. Kres górny sum dolnych naszywany jest całką dolną.
Podobnie definiowana jest całka górna. Jeśli obie całki są równe, to mówi się,
że całka istnieje i wspólną liczbę nazywa całką.
W tej definicji nie występuje żaden ciąg sum.
Mamy jednak proste kryterium całkowalności. Funkcja jest całkowalna,
jeśli dla dowolnego ε>0 znajdziemy sumy − górną i dolną − różnica których
jest mniejsza od ε.
25 gru 22:15
analiza:
A jak to wykorzystac do tego wyjsciowego?
25 gru 22:26
analiza:
A jak udowodnić to wyjsciowe z tymi przedzialami?
26 gru 10:44
jc: Pisaliśmy o tym (Adamm 15:54, ja 16:07, Bleee 16:48). Powtórz sobie definicję granicy ciągu.
26 gru 10:49
analiza:
Ok.
Czyli nie musze pisac o tych podzialach przedzialu [ci, di]?
26 gru 10:53
analiza:
w sensie, ze to jest potrzebne dla tej sumy Riemanna
nie trzeba tego uwzgledniac w dowodzie?
26 gru 11:27
analiza: ?
26 gru 15:58
analiza:
| 1 | |
Czemu [ci, di] ma długość |
| ? (z 15:21) |
| i | |
| 1 | |
Podprzedzialy maja dlugosc |
| . |
| i | |
26 gru 19:25
jc: Mamy dwa ciągi ci, di takie, że
c ≤ ci ≤ di ≤ d
ci →c
di →d
Poza tym dzielimy [ci, di] na przedziały długości 1/i, co sugeruje, że i(di−ci) jest liczbą
całkowitą.
Uzupełniłbym sumę całkową o dwa krańcowe przedziały: [c, ci], [di,d].
Taka uzupełniona suma zbieżna jest do całki, więc różnica dla odpowiednio dużego i
będzie mniejsza od ε/3. Rozważana funkcja jest ograniczona (bo tylko dla takich definiuje
się całki R). |f| < M. Różnice na krańcowych przedziałach dla odpowiednio dużych i
będą mniejsze od ε/3. W sumie różnica będzie mniejsza od ε.
Nie rozumiem sensu tego zadania.
26 gru 20:19
Adamm: A, no tak. Przeczytałem źle.
27 gru 02:24
analiza:
Ok. Dziekuje.
Np. dla: c=1, d=2 oraz
| 1 | | k | | 1 | | k | |
Si=∑k=1i |
| * |
| *ln( |
| + |
| ) |
| i | | i | | 2 | | i | |
|S
i−1,066|<ε
Jak dobrac tutaj przykladowa wartosc ε?
28 gru 14:18
analiza:
?
28 gru 20:50
analiza:
D−suma dolna; G−suma gorna
D≤S
i≤G; D≤∫
cd g(x) dx≤G.
S
i to suma Riemanna funkcji g dla podzialu przedzialu [c
i, d
i] na podprzedzialy dlugosci
| 1 | |
|
| , czyli jak zapisac te sumę Si jako Si=∑ g(...)*(...) ? |
| i | |
Jak podział tych przedziałow wygladalby na rysunku?
Bardzo prosze jeszcze o pomoc.
29 gru 16:06
analiza:
Jak zapisac symbolicznie to co zostalo napisane o 20:19 z tym ε?
Moge prosic o zapis tego z uwzglednieniem tego co napisalem o 16:06. ?
29 gru 16:54
analiza:
?
29 gru 19:45
analiza:
?
29 gru 21:36
analiza:
?
30 gru 01:40
analiza:
?
2 sty 23:19
analiza: ?
3 sty 13:56