matematykaszkolna.pl
analiza analiza: Funkcja g jest funkcja calkowalna na przedziale [c, d] oraz Si to suma Riemanna funkcji g dla
 1 
podzialu przedzialu [ci, di] na podprzedzialy dlugosci

.
 i 
[ci, di]⊂[c, d], ci→c oraz di→d (przy i→). Wowczas dla dowolnego ε dodatniego dla prawie kazdego i mamy |Si−∫cd g(x) dx|<ε. Jak to udowodnic?
25 gru 15:17
Adamm: trudno, żeby ci→c i di→d jednocześnie gdy [ci, di] ma długość 1/i
25 gru 15:21
Adamm: Jak definiujesz całkę Riemanna?
25 gru 15:25
analiza: lim Si=∫cd g(x) dx i→
25 gru 15:43
Adamm: więc wynika to wprost z definicji
25 gru 15:47
analiza: Czyli jak to zapisac?
25 gru 15:48
Adamm: a co to znaczy, że limi→ Si = ∫cd g(x) dx ?
25 gru 15:54
analiza: granica sumy Riemanna dazy do calki
25 gru 15:58
jc: Chodzi o definicję granicy. Sj → G oznacza, że dla każdego ε>0, |Sj − G|<ε dla prawie wszystkich j, tzn. dla wszystkich j poza jakimś skończonym zbiorem, co jest równoważne temu, że dla j większych od pewnego n0 zachodzi rozważana nierówność.
25 gru 16:07
analiza: A dla jakiego ε to bedzie dobre?
25 gru 16:22
Blee: dla każdego emotka zobacz sobie def. Cauchy'ego. I piszesz: 1) Skoro limi−> Si = ∫cd g(x) dx, to 2) ciąg {Si}i=1 oraz jego granica postaci ∫cd g(x) dx spełnia definicję Cauchy'ego granicy ciągu (i podajesz definicję)
25 gru 16:48
analiza: A jak calka Riemanna bylaby inaczej zdefiniowana?
25 gru 22:04
jc: W posiadanych przeze mnie podręcznikach całka R definiowana jest poprzez sumy dolne i górne. Kres górny sum dolnych naszywany jest całką dolną. Podobnie definiowana jest całka górna. Jeśli obie całki są równe, to mówi się, że całka istnieje i wspólną liczbę nazywa całką. W tej definicji nie występuje żaden ciąg sum. Mamy jednak proste kryterium całkowalności. Funkcja jest całkowalna, jeśli dla dowolnego ε>0 znajdziemy sumy − górną i dolną − różnica których jest mniejsza od ε.
25 gru 22:15
analiza: A jak to wykorzystac do tego wyjsciowego?
25 gru 22:26
analiza: A jak udowodnić to wyjsciowe z tymi przedzialami?
26 gru 10:44
jc: Pisaliśmy o tym (Adamm 15:54, ja 16:07, Bleee 16:48). Powtórz sobie definicję granicy ciągu.
26 gru 10:49
analiza: Ok. Czyli nie musze pisac o tych podzialach przedzialu [ci, di]?
26 gru 10:53
analiza: w sensie, ze to jest potrzebne dla tej sumy Riemanna nie trzeba tego uwzgledniac w dowodzie?
26 gru 11:27
analiza: ?
26 gru 15:58
analiza:
 1 
Czemu [ci, di] ma długość

? (z 15:21)
 i 
 1 
Podprzedzialy maja dlugosc

.
 i 
26 gru 19:25
jc: Mamy dwa ciągi ci, di takie, że c ≤ ci ≤ di ≤ d ci →c di →d Poza tym dzielimy [ci, di] na przedziały długości 1/i, co sugeruje, że i(di−ci) jest liczbą całkowitą. Uzupełniłbym sumę całkową o dwa krańcowe przedziały: [c, ci], [di,d]. Taka uzupełniona suma zbieżna jest do całki, więc różnica dla odpowiednio dużego i będzie mniejsza od ε/3. Rozważana funkcja jest ograniczona (bo tylko dla takich definiuje się całki R). |f| < M. Różnice na krańcowych przedziałach dla odpowiednio dużych i będą mniejsze od ε/3. W sumie różnica będzie mniejsza od ε. Nie rozumiem sensu tego zadania.
26 gru 20:19
Adamm: A, no tak. Przeczytałem źle.
27 gru 02:24
analiza: Ok. Dziekuje. Np. dla: c=1, d=2 oraz
 1 k 1 k 
Si=∑k=1i

*

*ln(

+

)
 i i 2 i 
 1 
g(x)=xln(

+x)
 2 
 1 
12 xln(

+x) dx=1,066
 2 
|Si−1,066|<ε Jak dobrac tutaj przykladowa wartosc ε?
28 gru 14:18
analiza: ?
28 gru 20:50
analiza: D−suma dolna; G−suma gorna D≤Si≤G; D≤∫cd g(x) dx≤G. Si to suma Riemanna funkcji g dla podzialu przedzialu [ci, di] na podprzedzialy dlugosci
 1 

, czyli jak zapisac te sumę Si jako Si=∑ g(...)*(...) ?
 i 
Jak podział tych przedziałow wygladalby na rysunku? Bardzo prosze jeszcze o pomoc.
29 gru 16:06
analiza: Jak zapisac symbolicznie to co zostalo napisane o 20:19 z tym ε?
 ε 
Skad bierze sie

?
 3 
Moge prosic o zapis tego z uwzglednieniem tego co napisalem o 16:06. ?
29 gru 16:54
analiza: ?
29 gru 19:45
analiza: ?
29 gru 21:36
analiza: ?
30 gru 01:40
analiza: ?
2 sty 23:19
analiza: ?
3 sty 13:56