analiza analiza: Dana jest funkcja h: [x, x+w]x[x, x+w]→R, ktora jest ciagla i ma kresy w punktach: (x,x) oraz (x+w, x+w). Wowczas dla kazdego punktu (c, d) ∊ [x, x+w]x[x, x+w] ∃α (α≥0 i α≤w) taka, ze h(x+α, x+α)=h(c, d). Jak nazywa sie to twierdzenie? Jak je udowodnic?

Adamm: h0, 1]x[0, 1]→R h(0, 0) − minimum, h(1, 1) − maximum Jeśli (c, d)∊[0, 1]², to Rozważmy F(x) = h(x, x)−h(c, d) − funkcja ciągła. Wtedy F(0)≤0, F(1)≥0, więc istnieje h, że F(h) = 0.

analiza: ok. To twierdzenie ma jakas nazwe?

Adamm: Nawet jeśli ma, to nie pamiętam.

analiza: A moze ktos inny pamieta?

Adamm: cóż, było takie twierdzenie, podobne, o funkcji f: [0, 1]→[0, 1] i to chyba ono miało swoją nazwę

Adamm: można powiedzieć, że to specjalny przypadek twierdzenia Brouwera o punkcie stałym

analiza: A jak to wykazac dla dowolnej dziedziny? Czyli h: [x, x+w]²→R.

Adamm: zmodyfikować odpowiednio dowód dla uproszczonej wersji

analiza: A da sie skorzystac z jednostajnej ciaglosci?

Adamm: Eee

Adamm: korzystaj z prostej własności spójności

analiza: A moze byc tak? korzystam z wlasnosci ciaglosci h wartosc w punkcie (c,d) jest pomiedzy kresami, h jest ciagla wiec przyjmuje wartosci w pozostalych punktach rowniez w (c,d).

analiza: ?

analiza: Dobrze?

analiza: ?