pierwiastki naturalne kuba: Ustal dla jakich wartości paramertu a równanie ax² − (a²+4)x +4a =0 ma dwa różne pierwiastki naturalne.

Blee: innymi słowy kiedy ax² − (a²+4)x + 4a = a(x−b)(x−c) gdzie b,c ∊ N jak łatwo zauważyć ... b*c = 4 −> b=1 i c = 4 (lub na odwrót, co nic nowego nie wprowadza) a(x−1)(x−4) = ax² − 4ax + 4a = ax² − (a²+4)x + 4a czyli −4a = −(a² + 4) −> a =

ICSP: ax² − a²x − 4x + 4a = 0 ax(x − a) − 4(x−a) = 0 (x − a)(ax − 4) = 0 No i chyba wszystko jasne.

kuba: Dziękuję bardzo za pomoc i życzę wesołych świąt!

Julop212: Mamy równanie, które ma mieć 2 rozwiązania naturalne. Aby równanie miało dwa rozwiązania to musi być co najmniej kwadratowe, zatem przy x² NIE MOŻE stać 0 (bo równanie będzie wtedy liniowe) a więc a ≠ 0 Jeżeli nasze równanie jest już kwadratowe, to żeby miało 2 różne rozwiązania to Δ musi być > 0. zatem: Δ>0 (a²+4)²−4a(4a)>0 a⁴+8a²+16−16a²>0 a⁴−8a²+16>0 obierzmy takie t, że t=a² t²−8t+16>0 (t−4)²>0 kwadrat dowolnej liczby jest większy od zera. chyba, że jest to kwadrat zera to wynosi on zero zatem t−4≠0 t≠4 a²≠4 a≠2 ∧ a≠−2 Takim sposobem wyznaczyliśmy, że a≠−2 ; a≠0 ; a≠2 Zostało nam jeszcze spośród tych a wybrać takie, dla których pierwiastki tego równania będą należeć do ℕ. Oznaczmy pierwiastki tego równania jako x₁ i x₂. Teraz: ax² − (a²+4)x+4a=a(x−x₁)(x−x₂) ax² − (a²+4)x+4a=(ax−ax₁)(x−x₂) ax² − (a²+4)x+4a=ax²−axx₂−axx₁+ax₁x₂ ax² − (a²+4)x+4a=ax² −(ax₁+ax₂)x+ax₁x₂ a więc a²+4=ax₁+ax₂ i ax₁x₂=4a zajmiemy się drugim równaniem skracamy obustronnie przez a (możemy bo a≠0) x₁x₂=4 skoro pierwiastki tego wielomianu są naturalne to mamy trzy możliwości: 1) x₁=1 ; x₂=4 2) x₁=2 ; x₂=2 3) x₁=4 ; x₂=1 sprawdzamy które zdania są prawdziwe sumując je z pierwszym równaniem 1) 1a+ 4a = a² +4 a² − 5a +4 = 0 (a−1)(a−4)=0 zatem a = 1 lub a= 4 2) 2a+2a = a² + 4 a²−4a+4=0 (a−2)²=0 a=2 ale założyliśmy, że a ≠ 0. 3) to pokryje nam sie z 1) 4a+ 1a= a² + 4 ..... ..... a=1 lub a=4 Zatem a∊{1; 4} dodatkowo wyznaczyliśmy te pierwiastki są to x₁=1 i x₂=4

Julop212: Blee − z twojego równania otrzymamy a=2. Wystarczy to podstawić, żeby zobaczyć, że takie równanie ma jedno rozwiązanie, a więc twoje rozwiązanie jest niepoprawne.

ICSP: Bo źle wymnożył. Powinno być 5a = a² + 4 Jednak zostaje przy swoim.