Udowodnienie twierdzenia Syn Fermata: Witam, szukam odpowiedzi jak przekształcić to wyrażenie, by udowodnić, że (x+1)(x+2)+(y+1)(y+2)+1≥ (x+2)(y+2)

Blee: a = x+2 b = y+2 (a−1)a + (b−1)b + 1 ≥ ab a² − ab + b² − a − b + 1 ≥ 0 a² − 2ab + b² + ab − a − b + 1 ≥ 0 (a−b)² + a(b−1) − (b−1) ≥ 0 (a−b)² + (a−1)(b−1) ≥ 0 (x − y)² + x*y ≥ 0 1) x ≥ 0 i y ≥ 0 oczywiste 2) x ≤ 0 i y ≤ 0 oczywiste 3) x ≥ 0 i y ≤ 0 (więc xy ≤ 0) (x−y)² + xy = x² − 2xy + y² + xy ≥ −2xy + xy = −xy ≥ 0 4) x ≤ 0 i y ≥ 0 dokładnie to samo rozumowanie

jc: Przenieść na lewo? (x+1)(x+2)+(y+1)(y+2)+1−(x+2)(y+2)=x²+y²−xy+x+y+1 =[(x−y)²+(x+1)²+(y+1)²]/2 ≥ 0

Blee: ach ... tam powinno być (x+1)(y+1) a nie xy rób jak jc pokazał

Syn Fermata: Dziękuje, mam jeszcze pytanie do jednego przykładu: ²_{1/a + 1/b} ≤ √a² + b²/2 Ta dwójeczka jest w pierwiastku

Blee: L = średnia harmoniczna P = średnia geometryczna

Syn Fermata: Wystarczy opisać zjawisko ?

Blee: ach nie ... tam jest przez √2 ... heh

Blee: na pewno jest to √2 po prawej stronie

Syn Fermata: Opiszę może słownie Suma kwadratów a i b przez 2 pod pierwiastkiem

Blee: jeżeli tak ... to nie jest to prawdą niech a = 1 niech b = −2 wtedy:

	2
L =		= 4
	1 − 0.5

	1 + 0.25		1 + 1
P = (		)1/2 < (		)1/2 = 1
	2		2

więc L > P

Syn Fermata: a i b są dodatnie szanowny Panie, zapomniałem

Blee: kuźwa ... prawa strona to jest średnia potęgowa

Syn Fermata: Ciekawe, wyrwałem już kartkę, robiąc je haha

Blee: masz porównać średnią harmoniczną do średniej geometrycznej

Blee: tfu średnia harmoniczna do średniej POTĘGOWEJ ... ja juz nie myślę

Syn Fermata: Zrozumiałe proszę Pana, klimat wigilijny, a ja tu się realizuje i zawracam czas. Mimo to dziękuje