równanie różniczkowe albi: Wyznacz rozwiązanie równania z zadanym warunkiem początkowym

	x
y'' − 2y' + y = 4sin2(		) y(0) = 2, y'(0) = 1
	2

Bleee: Wskazowka: jaki to jest typ rownania rozniczkowego r² − 2r + 1 = (r−1)²

albi: problem mam z przewidzeniem postaci szczególnej całki wyjściowego równania

Bleee: y" − 2y' + y = 0 Jak napisałem − masz (r−1)² = 0 Wiec y = c₁e^1*x + c₂xe^1*x x masz że względu na to że r=1 jest podwójnym pierwiastkiem.

albi: No właśnie do tego doszedłem problem mam z tym co zrobić dalej

Bleee: Zauważ że 4sin²(x/2) = 4 − 4cos²(x/2) = 2 − (4cos²(x/2) − 2) = 2 − 2cosx A wtedy zapisujesz: Najprostrze przewidywanie: y = c₃cos(ax) + c₄sin(bx) + c₅

Bleee: Dlaczego takie.... ² trygonometryczne są bez sensu, bo je można zredukować tak jak pokazałem. Ewentualnie można by było się pobawić: y = c₃cos(ax) + c₄sin(bx) + c₅ + c₆cosx + c₇sinx, gdzie a≠1 i b≠1 I może to by była wlasciwsza forma przewidywania, nie wiem.

albi: wyszło mi −2xe^x − sinx + 2 nie wiem czy dobrze ale chociaż to ruszyłem, dzięki wielkie

albi: czemu a i b ≠ 1 ?

Bleee: A e^x

Bleee: Jak dla mnie Winno wyjsc y = c₁e^x + c₂xe^x + c₃sinx + 2 I teraz warunki początkowe.

Blee: 18:57 bo dla a=1 oraz dla b=1 'odseparowałem' przypadki na końcu. Szczerze mówiąc to nie pamiętam jaka forma jest prawidłowa, czy wystarczy ta pierwsza czy trzeba tę drugą.

albi: No C₁ mi wyszło −2, C₂ mi wyszło 0 a przy sinusie faktycznie powinien być +

Blee: oki ... jak Ci tak wyszło z początkowych ... to może i tak jest. Pisze z komórki, więc nie mam możliwości sprawdzenia tego (nie chce mi się liczyć w pamięci)

albi: Ale przy tym równaniu y = c₁ex c₂xex + c₃sinx + 2 musimy mieć to c₃? To w czasie obliczania całki szczególnej równania niejednorodnego nie wychodzi już 1 i nie trzeba tego zapisywać?

Blee: y(0) = c₁ + 2 −> c₁ = 0 y'(0) = c₂ + c₃ −> c₂ = 1 − c₃ y = (1−c₃)xe^x + c₃sinx + 2 L = y'' − 2y' + y = (1−c₃)(xe^x + 2e^x) − c₃sinx −2[(1−c₃)(xe^x + e^x) +c₃cosx] + (1−c₃)xe^x + c₃sinx + 2 jako że mamy P = 2 − 2cosx ... to −2c₃ = −2 −> c₃ = 1 −> c₂ = 1−c₃ = 0 y(x) = sinx + 2 <−−− ostatecznie

Blee: a tu sprawdzenie/ściąga: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+%E2%88%92+2y%27+%2B+y+%3D+4sin%5E2%28x%2F2%29+%3B+y%280%29+%3D+2+%3B+y%27%280%29+%3D+1+

albi: Racja, błąd w obliczeniach

Mariusz:

	x
y'' − 2y' + y = 4sin2(		) y(0) = 2, y'(0) = 1
	2

L(y'(x))=∫₀^∞y'(x)e^−sxdx=y(x)e^−sx|₀^∞−∫₀^∞−sy(x)e^−sxdx L(y'(x))= 0−y(0⁺)+sL(y(x)) L(y'(x))=−y(0⁺)+sL(y(x)) L(y''(x))=∫₀^∞y''(x)e^−sxdx=y'(x)e^−sx|₀^∞−∫₀^∞y'(x)(−s)e^−sxdx L(y''(x))=0 − y'(0⁺)+sL(y'(x)) L(y''(x))=− y'(0⁺) +s(−y(0⁺)+sL(y(x))) L(y''(x))=−y'(0⁺)−sy(0⁺)+s²L(y(x))

	x		4
4sin2(		)=		(1−cos(x))
	2		2

	x
4sin2(		)=2−2cos(x)
	2

	2		2s
(−1−2s+s2Y(s))−2(−2+sY(s))+Y(s)=		−
	s		s2+1

	2s2+2−2s2
−1−2s+4+(s2−2s+1)Y(s)=
	s(s2+1)

	2
(s−1)2Y(s)=2s−3+
	s(s2+1)

	2
(s−1)2Y(s)=2s−3+
	s(s2+1)

	2s4−3s3+2s2−3s+2
(s−1)2Y(s)=
	s(s2+1)

	2s4−3s3+2s2−3s+2
(s−1)2Y(s)=
	s(s2+1)

	2s4−3s3+2s2−3s+2
Y(s)=
	s(s−1)2(s2+1)

2s4−3s3+2s2−3s+2		A		B		C		Ds+E
	=		+		+		+
s(s−1)2(s2+1)		s		s−1		(s−1)2		s2+1

A(s−1)²(s²+1)+Bs(s−1)(s²+1)+Cs(s²+1)+(Ds+E)s(s−1)²=2s⁴−3s³+2s²−3s+2 A(s²−2s+1)(s²+1)+B(s²−s)(s²+1)+C(s³+s)+D(s⁴−2s³+s²)+E(s³−2s²+s) =2s⁴−3s³+2s²−3s+2 A(s⁴−2s³+2s²−2s+1)+B(s⁴−s³+s²−s)+C(s³+s)+D(s⁴−2s³+s²)+E(s³−2s²+s) =2s⁴−3s³+2s²−3s+2 A+B+D=2 −2A−B+C−2D+E=−3 2A+B+D−2E=2 −2A−B+C+E=−3 A=2 A=2 B+D=0 −B+C−2D+E=1 B+D−2E=−2 −B+C+E=1 A=2 B=−D C−D+E=1 −2E=−2 C+D+E=1 A=2 B=−D E=1 C−D=0 C+D=0 A=2 B=−D E=1 C=0 D=0 A=2 B=0 C=0 D=0 E=1

2s4−3s3+2s2−3s+2		A		B		C		Ds+E
	=		+		+		+
s(s−1)2(s2+1)		s		s−1		(s−1)2		s2+1

2s4−3s3+2s2−3s+2		2		1
	=		+
s(s−1)2(s2+1)		s		s2+1

	2		1
Y(s)=		+
	s		s2+1

Aby odwrócić to przekształcenie korzystasz z tablic y(x)=2+sin(x)