Monomorfizm massia: Czy istnieje monomorfizm grup ℤ₃ ⊕ ℤ₄ → Z₅?

edualgebra: ℤ₃ = {0,1,2} ℤ₄ = {0,1,2,3} ℤ₃ x ℤ₄ = {(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,1), (2,2), (2,3)} element neutralny w tej grupie to (0,0), ponieważ dla każdego a,b z grupy mamy (0,0) + <— (grupa zdodawaniem, dlatego plus) + (a,b) = (0+a, 0+b) = (a,b) Monomorfizmy zachowują rzędy elementów − trzeba więc sprawdzić rząd każdego elementu w grupie z produktem i porównać je z rzędami elementów grupie modulo 5. (0,1) * 4 = (0,0) mod 4, więc rząd (0,1) = 4 analogicznie rz (0,2) = 2, rz (0,3) = 4, rz (1,0) = 4, rz (1,1) = 4, rz (1,2) = 4, rz (1,3) = 4, rz (2,0) = 2, rz (2,1) = 4, rz (2,2) = 2, rz (2,3) = 4. Mamy więc 3 elementy rzędu 2, 1 element rzędu 1 (0,0), 8 elementów rzędu 4. W grupie ℤ₅ mamy {0,1,2,3,4}, elementem neutralnym jest 0 (dodawanie). Więc rz 0 = 1, rz 1 = 5, rz 2 = 5, rz 3 = 5, rz 4 = 5. Mamy więc 1 element rzędu 1 i 4 elementy rzędu 5. Widzimy więc, że takie odwzorowanie nie może być monomorfizmem.

massia: dalej nie wiem o co chodzi z tymi rzędami... to ma być tak, że w monomorfiźmie elementy z grupy G muszą mieć takie same rzędy jak elementy z grupy H?

Adamm: |Z₃ x Z₄| = 12, |Z₅| = 5 12>5, funkcja nie może być 1−1

Adamm: nie istnieje w ogóle funkcja różnowartościowa z Z₄ x Z₃ w Z₅

Adamm: Spróbujmy wyznaczyć wszystkie homomorfizmy między tymi grupami. Niech f:Z₄ x Z₃ → Z₅ to dowolny homomorfizm. Fakt: Jeśli f:G₁→G₂ to homomorfizm, i g∊G₁ ma rząd n, to rząd f(g) dzieli n. To wynika prosto z tego, że f(g)ⁿ = f(gⁿ) = f(e) = e. Jeśli g∊Z₄ x Z₃, to rząd(g) | 12. Zatem rząd(f(g)) | 12. Ale rząd(f(g)) | 5, więc rząd(f(g)) = 1, a co za tym idzie, f(g) = 0. Zatem f musi być trywialnym homomorfizmem.