wielomiany
TłumokMatematyczny: Rozłóż na czynniki.
w(x)=3x3−x2+x−3
19 gru 19:44
Blee:
zauważ, że
w(1) = 3 − 1 + 1 − 3 = 0
więc jednym z pierwiastków będzie x = 1
więc w(x) dzieli się przez (x−1) ... skorzystaj ze schematu Hornera
później liczysz Δ i rozkładasz dalej
19 gru 19:47
ICSP: 3x3 − 3 − x2 + x = 3(x−1)(x2 + x + 1) − x(x−1) = (x−1)(3x2 + 3x + 1 − x) = ...
19 gru 20:04
Mariusz:
3x
3−x
2+x−3=0
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
(x− |
| )3=x3−3x2 |
| +3x |
| − |
| |
| | 9 | | 9 | | 81 | | 729 | |
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
(x− |
| )3 = x3 − |
| x2 + |
| x − |
| |
| | 9 | | 3 | | 27 | | 729 | |
| | 1 | | 8 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 8 | |
(x− |
| )3 + |
| (x− |
| ) = x3 − |
| x2 + |
| x − |
| + |
| x − |
| | 9 | | 27 | | 9 | | 3 | | 27 | | 729 | | 27 | |
| | 1 | | 8 | | 1 | | 1 | | 1 | | 25 | |
(x− |
| )3 + |
| (x− |
| ) = x3 − |
| x2 + |
| x− |
| |
| | 9 | | 27 | | 9 | | 3 | | 3 | | 729 | |
| | 1 | | 8 | | 1 | | 704 | | 1 | | 1 | |
(x− |
| )3 + |
| (x− |
| ) − |
| = x3 − |
| x2 + |
| x − 1 |
| | 9 | | 27 | | 9 | | 729 | | 3 | | 3 | |
y=u+v
(u+v)
3=u
3+3u
2v+3uv
2+v
3
(u+v)
3=u
3+v
3+3uv(u+v)
| | 8 | | 704 | |
u3+v3+3uv(u+v)+ |
| (u+v) − |
| =0 |
| | 27 | | 729 | |
| | 704 | | 8 | |
u3+v3 − |
| + 3(u+v)(uv+ |
| )=0 |
| | 729 | | 81 | |
| | 704 | | 512 | |
t2− |
| t− |
| =0 |
| | 729 | | 531441 | |
| | 352 | | 123904+512 | |
(t− |
| )2− |
| |
| | 729 | | 531441 | |
| | 352 | | 124416 | |
(t− |
| )2− |
| |
| | 729 | | 531441 | |
| | 352−√124416 | | 352+√124416 | |
(t− |
| )(t− |
| ) |
| | 729 | | 729 | |
| | 352−144√6 | | 352+144√6 | |
(t− |
| )(t− |
| ) |
| | 729 | | 729 | |
| | 1 | |
y= |
| (3√352−144√6+3√352+144√6) |
| | 9 | |
| | 1 | | 1 | |
x− |
| = |
| (3√352−144√6+3√352+144√6) |
| | 9 | | 9 | |
| | 1 | |
x= |
| (3√352−144√6+3√352+144√6 + 1) |
| | 9 | |
Czy można ten wynik jakoś uprościć ?
(a+b
√6)
3=a
3+3a
2b
√6+3ab
26+b
36
√6
(a+b
√6)
3=a
3+18ab
2+(3a
2b+6b
3)
√6
a
3+18ab
2=352
3a
2b+6b
3=144
a
3+18ab
2=352
a
2b+2b
3=48
a
3+18ab
2=352
b(a
2+2b
2)=48
Przyjmijmy b = 2
2(a
2+2*2
2)=48
a
2+8=24
a
2=16
Niech a = 4 oraz b = 2 i sprawdźmy czy spełnione jest także pierwsze równanie
a
3+18ab
2=352
4
3+18*4*2
2=352
64+18*16=352
64+288=352
352=352
Mamy zatem
| | 1 | |
x= |
| (3√(4−2√6)3+3√(4+2√6)3 + 1) |
| | 9 | |
| | 1 | |
x= |
| ((4−2√6)+(4+2√6)+1) |
| | 9 | |
x=1
Jest to jedyny pierwiastek rzeczywisty
aby to sprawdzić można skorzystać z pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki
bądź podzielić wielomian przez dwumian x − 1
Podobno Francois Viete używał innego podstawienia do rozwiązania równania
w następującej postaci
| | 8 | | 704 | |
y3 + |
| y= |
| | z3 |
| | 27 | | 729 | |
| | 8 | | 704 | |
y3z3 + |
| yz3= |
| z3 |
| | 27 | | 729 | |
| | 8 | | 8 | | 8 | | 704 | |
( |
| −z2)3+ |
| z2( |
| −z2)= |
| z3 |
| | 81 | | 27 | | 81 | | 729 | |
| 512 | | 64 | | 8 | | 64 | | 8 | |
| −3 |
| z2+3 |
| z4−z6+3 |
| z2−3 |
| z4 |
| 531441 | | 6561 | | 81 | | 6561 | | 81 | |
| 512 | | 704 | |
| −z6− |
| z3=0 |
| 531441 | | 729 | |
| | 704 | | 512 | |
z6+ |
| z3− |
| =0 |
| | 729 | | 531441 | |
| | 704 | | 512 | |
(z3)2+ |
| (z3)− |
| =0 |
| | 729 | | 531441 | |
19 gru 22:41
psychiatra:
Człowieku,ty się nadajesz do leczenia.
19 gru 22:46
Mariusz:
Co to nowe wcielenie sata albo może darasy się rozmnożyły
19 gru 22:53
janek191:
W(x) = 3 x3 − x2 + x − 3
W(1) = 0
więc
W(x) = ( x −1)*(3 x2 +2 x + 3)
bo
Δ = 22 − 4*3*3 < 0
20 gru 10:49
Viète: François
20 gru 13:17
Mariusz:
Viète , wiem ale nie mam zainstalowanej klawiatury z francuskimi znakami diakrytycznymi
a nie chciało mi się szukać tego jednego znaku w tablicy znaków
janek191 tak to już wyżej zauważył Blee
Chciałem mu jednak pokazać sposób którym może rozłożyć każde równanie trzeciego stopnia
Można też ten sposób uogólnić na równania czwartego stopnia
Podobno François Viète używał funkcyj trygonometrycznych do rozwiązania
przypadku nieprzywiedlnego zwanego casus irreducibilis
20 gru 13:45
daras: ja się nie sklonowałem ale cieszę się, że ktoś podziela moje zdanie a propos wieloskrollowych
elaboratów, z których nikt nie czerpie przyjemności poza ich autorem
25 gru 13:44