Zadanie z czynników całkujących: Benek: Zadanie z czynników całkujących: ydx +(x−2x²y³)dy=0

Blee: no i

Benek: Nie wiem jak rozwiązać

Blee: 1) Jaki rodzaj równania różniczkowego tutaj masz

Blee: masz nawet podaną metodę z której masz skorzystać ... więc w czym problem

Mariusz: ydx +(x−2x²y³)dy=0 ydx=−(x−2x²y³)dy

	dy
y=−(x−2x2y3)
	dx

dy		y
	=
dx		2x2y3−x

dy		y
	=
dx		x(2xy3−1)

dy		y	1
	=
dx		x	2xy3−1

u=xy³

du		dy
	=y3+3xy2
dx		dx

	dy		du
3xy2		=		−y3
	dx		dx

	dy		du		u
3xy2		=		−
	dx		dx		x

dy		y	1
	=
dx		x	2xy3−1

	dy		3xy3	1
3xy2		=
	dx		x	2xy3−1

du		u		3u	1
	−		=
dx		x		x	2u−1

du		u		3u	1
	=		+
dx		x		x	2u−1

du		u		3
	=		(1+		)
dx		x		2u−1

du		u	2u+2
	=
dx		x	2u−1

du		2	(u+1)u
	=
dx		x	2u−1

2u−1	du		2
		=
u(u+1)	dx		x

2u−1		2
	du =		dx
u(u+1)		x

3u−(u+1)		2
	du=		dx
u(u+1)		x

	3		1		2
(		−		)du=		dx
	u+1		u		x

3ln|u+1|−ln|u|=2ln|x|+C₁ ln|(u+1)³|−ln|u|=ln|C₂x²|

	(u+1)3
ln|		|=ln|C2x2|
	u

(u+1)3
	=C2x2
u

(u+1)3
	=C2
ux2

(xy3+1)3
	=C2
xy3x2

(xy3+1)3
	=C2
x3y3

	xy3+1
(		)3=C
	xy

Równanie jest z tych jednorodnych Czynnika całkującego jeszcze nie liczyłem

Mariusz: Jeśli chodzi o czynnik całkujący to szukaj tego o rozdzielonych zmiennych

Mariusz: Inny sposób szukania czynnika całkującego ydx +(x−2x²y³)dy=0 u = x v = xy³ x = u

	v
y3=
	u

P(x,y) = y Q(x,y) = x−2x²y³ x = u

	v1/3
y=
	u1/3

v1/3		v		d
	*1+(u−2u2		)		(v1/3u−1/3)
u1/3		u		du

	v		d
v1/3}{u1/3*0+(u−2u2		)		(v1/3u−1/3)
	u		dv

v1/3		1
	+(u−2uv)(−		v1/3u−1/3u−1)
u1/3		3

	1
(u−2uv)(		v1/3u−1/3v−1)
	3

v1/3		u−2uv		v1/3		u−2uv
	(1−		)du+		(		)dv=0
u1/3		3u		u1/3		v

v1/3	3u−u+2uv		v1/3	u−2uv
		du+			dv=0
u1/3	3u		u1/3	v

v1/3	2+2v		v1/3	1−2v
		du+u			dv=0
u1/3	3		u1/3	v

v1/3	2+2v		1−2v
		du+v1/3u2/3		dv=0
u1/3	3		v

	1	1
μ(u,v)=
	v1/3(1+v)	u2/3

	1
μ(u,v)=
	v1/3u2/3(1+v)

	1
μ(u,v)=
	x1/3y x2/3(1+xy3)

	1
μ(u,v)=
	xy(1+xy3)

Mariusz: To równanie łatwo rozwiązać samymi czynnikami całkującymi Jeden czynnik całkujący możesz znaleźć korzystając z podstawienia a drugi jest o rozdzielonych zmiennych

δμ(x,y)P(x,y)		δμ(x,y)Q(x,y)
	=
δy		δx

Niech μ(x,y) = φ(x)ψ(y)

δφ(x)ψ(y)P(x,y)		δφ(x)ψ(y)Q(x,y)
	=
δy		δx

	dψ		δP(x,y)		dφ		δQ(x,y)
φ(x)		P(x,y)+φ(x)ψ(y)		=ψ(y)		Q(x,y)+ψ(y)φ(x)
	dy		δy		dx		δx

	δP(x,y)		δQ(x,y)		dφ		dψ
φ(x)ψ(y)		− ψ(y)φ(x)		= ψ(y)		Q(x,y) − φ(x)		P(x,y)
	δy		δx		dx		dy

	δP(x,y)		δQ(x,y)		dφ		dψ
φ(x)ψ(y)(		−		) = ψ(y)		Q(x,y) − φ(x)		P(x,y)
	δy		δx		dx		dy

	δP(x,y)		δQ(x,y)		ψ(y)	dφ
(		−		) =			Q(x,y) −
	δy		δx		φ(x)ψ(y)	dx

	φ(x)	dψ
			P(x,y)
	φ(x)ψ(y)	dy

δP(x,y)		δQ(x,y)		1	dφ		1	dψ
	−		=			Q(x,y) −			P(x,y)
δy		δx		φ(x)	dx		ψ(y)	dy

Niech

1	dφ
		=f(x)
φ(x)	dx

1	dψ
		=g(y)
ψ(y)	dy

dφ
	=f(x)dx
φ(x)

dψ
	=g(y)dy
ψ(y)

Mamy więc

δP(x,y)		δQ(x,y)
	−		=Q(x,y)f(x) − P(x,y)g(y)
δy		δx

W twoim równaniu ydx +(x−2x²y³)dy=0 P(x,y)=y Q(x,y)=x−2x²y³ 1−(1−4xy³)=(x−2x²y³)f(x)−yg(y) 4xy³ = (x−2x²y³)f(x)−yg(y)

	A
Można przyjąć że funkcja f(x) będzie w postaci
	x

	B
a funkcja g(y) będzie w postaci
	y

	A		B
4xy3 = (x−2x2y3)		−y
	x		y

4xy³ = A −2Axy³ − B A − B = 0 −2A = 4 A=B A=−2

	2
f(x)=−
	x

	2
g(y)=−
	y

dφ
	=f(x)dx
φ(x)

dψ
	=g(y)dy
ψ(y)

dφ		2
	=−		dx
φ(x)		x

dψ		2
	=−		dy
ψ(y)		y

ln|φ(x)|=−2ln|x| ln|ψ(y)|=−2ln|y| ln|φ(x)|=ln|x⁻²| ln|ψ(y)|=ln|y⁻²|

	1
φ(x)=
	x2

	1
ψ(y)=
	y2

	1
μ2(x,y)=
	x2y2

Pierwszy czynnik całkujący wcześniej policzyłem i wynosi on

	1
μ1(x,y)=
	xy(1+xy3)

Mamy dwa czynniki całkujące i wystarczy je tylko podzielić

1
	(x2y2)=C
xy(1+xy3)

xy
	=C
1+xy3

Mariusz: ydx +(x−2x²y³)dy=0 Jeśli chodzi o typ równania to wcześniej pokazałem że jest ono jednorodne ale jeśli przyjmiemy że y jest zmienną niezależną to jest ono także równaniem Bernoulliego ydx +(x−2x²y³)dy=0

	dx
y		+ (x−2x2y3)=0
	dy

	dx
y		+ x − 2y3x2=0
	dy

	dx
y		+ x = 2y3x2
	dy

dx		1
	+		x = 2y2x2
dy		y