Relacje WhiskeyTaster: Czy ktoś mógłby wytłumaczyć mi pewną rzecz dotyczącą relacji równoważności i klas abstrakcji na konkretnym zadaniu? Na N definiujemy relację równoważności wzorem m ~ n ⇔ 2|(n − m). Znajdź [3]_~ oraz wyznacz, ile elementów ma N/_~. Wprost z definicji: [x]_R = {y ∊ X: yRx}, X/_R = {[x]_R: x ∊ X}. Rozpatrując [3]_~, to będą te elementy z N, że 2|(3 − y). Wobec tego [3]_~ = {1, 3, 5, 7, ...}. A co do wskazania ile elementów ma ten zbiór, to nie mam pojęcia. Przecież każdy zbiór [x]_~ ma co najmniej jeden element, jakim jest on sam. Np. 5 ~ 5, bo 2|(5 − 5).

ite: Klasę abstrakcji [3]~ wyznaczyłeś dobrze. Ile elementów ma N/~ ? Zbiór ilorazowy ma dwa elementy, ponieważ relacja ma dwie klasy abstrakcji.

WhiskeyTaster: I tego właśnie nie rozumiem. Klasa abstrakcji to pewien obiekt. który na podstawie jakichś informacji grupuje przedmioty. Ale definicja zbioru ilorazowego całkowicie tego nie oddaje, a na pewno ja tego nie widzę. Zapewne chodzi o to, że liczby można podzielić na te podzielne przez 2 i na te niepodzielne przez 2. Tylko według definicji, elementem tego zbioru ilorazowego jest {1, −1, −3, −5,...}, {2, −2, −4, −6, ...}, a to już dwa elementy. Czegoś tu po prostu nie rozumiem w samej definicji.

ite: Ta relacja jest zdefiniowana na N, a nie na Z. Różnica liczby parzystej i nieparzystej nie spełnia podanego warunku, takie pary nie należą do relacji. Różnica dwóch liczb parzystych jest parzysta, więc wszystkie naturalne parzyste należą należą do relacji i do tej samej klasy abstrakcji. Różnica liczb nieparzystych jest parzysta, więc wszystkie naturalne nieparzyste też należą należą do relacji i do tej samej klasy abstrakcji. Mamy dwie klasy abstrakcji, możemy je oznaczyć [2]_∼ i [3]_∼ i tyle elementów ma zbiór ilorazowy.

ite: Wszystkie pary liczb naturalnych nieparzystych należą do relacji i tworzą jedną klasę abstrakcji. Wszystkie pary liczb naturalnych parzystych należą do relacji i tworzą drugą klasę abstrakcji.

WhiskeyTaster: Fakt, mój błąd z tym 22:08. Muszę przyznać, że teraz to widzę, po Twoim wypisaniu, iteracjo. Dziękuję za rozjaśnienie tego, jakoś tak topornie mi ta definicja wchodziła.

ite: Tłumaczenie też toporne, ale dobrze jeśli dało się zrozumieć.

Adamm: n ~ m ⇔ 2|(n−m) ⇔ f(n) = f(m) gdzie f:N→{0, 1} oznacza resztę z dzielenia przez 2 Def. Relacja ~ na X jest zdefiniowana przez funkcję f:X→Y, jeśli x ~ y ⇔ f(x) = f(y) Twierdzenie. ~ jest relacją równoważności ⇔ ~ jest zdefiniowana przez pewną funkcję Twierdzenie. Jeśli ~ jest zdefiniowana przez f:X→Y, oraz f jest 'na' (co sobie można zawsze założyć), to klasy abstrakcji relacji ~ to dokładnie f⁻¹(y), y∊Y Tu, klasami abstrakcji są f⁻¹(0) oraz f⁻¹(1).