Całki Martyna : Mam dwie całki, które próbuję rozwiązać, ale coś mi nie wychodzi: ∫x²√x²+4dx oraz drugi przykład ∫1/x√(x−1)/xdx. Każda wskazówka będzie a wagę złota!

a7: x²+4=t² 2xdx=2tdt t=√x²+4 ∫(t²−4)*tdt=∫t³dt−∫4tdt=1/4t⁴+2t² +C=1/4(x²+4)²+2(x²+4)+C=.....

Leszek: Tam zgubiles x , Gdy : x² + 4 = t² ⇒ x² = t² −4 , oraz dx = tdt/x Po podstawieniu : ∫ (t² −4) t² dt /x = ? ?

a7: aj

Martyna : Za x² podstawiamy (t²−4), za pierwiastek t, a za tdt=xdx, czyli dx=tdt/x, a tutaj coś mi nie pasuje, czy coś źle rozumiem?

Leszek: Nalezy podstawic : x² +4 = ( t −x)² , podstawienie Eulera Wowczas :

	t2 −4		t2 +4
x=		⇒ dx=		dt
	2t		2t2

Dokoncz ! !

jc:

	1		x−1
∫		[		]1/2 dx ?
	x		x

Leszek:

	1dx
Druga calka to chyba ? ∫		? ? Jezeli tak to : x2 − x= ( t− x)2
	√ x2 − x

I podobnie dalej jak pierwsza calka !

Martyna : Nie, nie druga całka wygląda tak, jak napisał /napisała jc

Leszek: Kolezanko Martyno , nawias w matematyce oznacza dzialanie matematyczne , wiec nalezy je uzywac ! !

jc: Leszek, dobrze było napisane. Gdzie byś chciał nawias postawić ?

Mariusz:

	1
∫		√x−1xdx
	x

x−1
	=t2
x

	1
1−		=t2
	x

	1
1−t2=
	x

	1
x=
	1−t2

	0*(1−t2)−1*(−2t)
dx=		dt
	(1−t2)2

	2t
dx=		dt
	(1−t2)2

	2t
∫(1−t2)t		dt
	(1−t2)2

	2t2		2t2−2+2
∫		dt=∫		dt
	1−t2		1−t2

	(1+t)+(1−t)
∫−2dt+∫		dt
	(1+t)(1−t)

	dt		dt
=−2∫dt+∫		+∫
	1−t		1+t

	1+t
=−2t+ln|		|+C
	1−t

Po powrocie do poprzedniej zmiennej otrzymamy =−2√^x−1_x+2ln|1+√^x−1_x|+ln|x|+C

Leszek: ∫(1/x) √(x−1)/x dx

Mila: 1) ∫x²√x²+4dx=∫x*x√x²+4 dx=... Przez części: x=u, dx=du, dv=x√x²+4 dx, v=∫x√x²+4 dx− podstawienie: x²+4=t, 2xdx=dt

	1		1		2		1
v=		∫√t dt=		*		t3/2=		(x2+4)√x2+4
	2		2		3		3

	1		1		4
...=x*		(x2+4)√x2+4−		∫x2√x2+4dx−		∫√x2+4dx⇔
	3		3		3

4		1		4
	∫x2√x2+4dx=		x*(x2+4)√x2+4−		∫√x2+4dx
3		3		3

ostatnią całkę z wzorów. Nie wiem, czy to krócej niż od razu podstawienie Eulera

jc:

	1		2u2du
Przyjmując x=		, czyli u=√(x−1)/x, dostajemy całkę ∫		.
	1−u2		1−u2

Mariusz: Mila zauważyłem że akurat w tych całkach pierwsze podstawienie Eulera prowadzi do całek z potęgi Po zastosowaniu liniowości całki dostajemy całkę ∫t^adt a tę już łatwo policzyć

jc: MIla, kilkakrotnie całkując przez części sprowadziłem całkę

	dx
do całki z		. Gdybym liczył dla siebie, podstawiłbym x= 2 sh t.
	√4+x2

	ch4t −1		sh4t		t
Dałoby to całkę 4∫sh2t ch2t dt = ∫sh22t dt = ∫		dt =		−
	2		8		2

A teraz trzeba wrócić do x=2y. sh4t = 2sh 2t ch2t = 4 sh t ch t (ch²t + sh²t)=4y(1+2y²)√1+y² Natomiast t = ln(y+√1+y²).

jc:

	1		1
całka =		x(2+x2)√4+x2 −		ln(x+√x2+4)
	16		2

Martyna : Leszek dziękuję za uwagę, będę wiedziała na przyszłość

Mariusz: ∫x²√x²+4dx √x²+4= t − x x²+4 = t² − 2tx + x² 4 = t² − 2tx 2tx=t²−4

	t2−4
x=
	2t

	2t*2t−2(t2−4)
dx=		dt
	4t2

	t2+4
dx=		dt
	2t2

	2t2−(t2−4)
t − x =
	2t

	t2+4
t − x =
	2t

	(t2−4)2	t2+4	t2+4
∫				dt
	4t2	2t	2t2

	(t2−4)2(t2+4)2
∫		dt
	16t5

	(t4−16)2
∫		dt
	16t5

	t8−32t4+256
∫		dt
	16t5

1		1		1
	(∫t3dt−32∫		dt+256∫		dt)
16		t		t5

Tak jak pisałem wcześniej mamy całkę z potęgi bez żadnych gotowych wzorów czy hiperbolicusów

1		t4		256
	(		−		−32ln|t|)+C
16		4		4t4

1		t8−256
	(		−128ln|t|)+C
64		t4

(t4−16)(t4+16)
	− 2ln|t|+C
64t4

(t2−4)(t2+4)(t4+16)
	− 2ln|t|+C
64t4

t2−4	t2+4	t4+16
			−2ln|t|+C
2t	2t	16t2

1	t2−4	t2+4	(t4−8t2+16)+8t2
				−2ln|t|+C
4	2t	2t	4t2

1	t2−4	t2+4		t2−4
			((		)2+2)−2ln|t|+C
4	2t	2t		2t

1
	x(x2+2)√x2+4−2ln|x+√x2+4|+C
4

1
	(x3+2x)√x2+4−2ln|x+√x2+4|+C
4

Mariusz: " Leszek, dobrze było napisane. Gdzie byś chciał nawias postawić ?" 17 gru 2019 22:07 Zapis ułamka byłby bardziej czytelny , nie miałby wątpliwości gdzie jest pierwiastek czy w liczniku czy w mianowniku

jc: Mariusz, cóż zapomniałem o 4 przed całką. Po uwzględnieniu 4 wyniki się zgadzają. Wydaje mi się, że użycie funkcji hiperbolicznych podpowiada dalsze rachunki. Porównaj − Twój rachunek jest 10 razy dłuższy. W ostatnich liniach moduł pod logarytmem nie jest potrzebny. Wyrażenie jest zawsze dodatnie.

Mariusz: Można było podać x oraz dx od razu jak to zrobił Leszek i byłoby krócej Ja całki pojedyncze miałem jeszcze w szkole średniej przed wprowadzeniem hiperbolicusów Po podstawieniu całkowanie można wykonać w pamięci Rachunek wygląda na dłuższy dlatego że pokazałem jak otrzymać x oraz dx podane przez Leszka a potem bawiłem się z powrotem do poprzedniej zmiennej

Leszek:

	1		x
Wyrazenie 1/2x jest rownowazne :		, zas wyrazenie (1/2)x rownowazne jest
	2x		2

Dlatego nalezy albo uzywac nawiasu albo pisac ulamki uzywajac licznika i mianownika .