n n:

	n 2		n 2
Co jest wieksze n do potegi		czy		! ?

mat:

n 2		n!		(n−1)n
	=		=		= 1+2+...+n−1
		(n−2)!*2		2

	n 2
n do potęgi		= n1+2+...+n−1...

Adamm: n^k = n*n*...*n − k razy k! = 1*2*...*k

	n 2
k =

n:

	n 2
Dla ktorych n		! jest wieksza od tamtego?

Pytający: Dla n≥6.

n: A jak to pokazac?

n: Mozna wyliczyc to w jakis sposob z ktorego widac to?

n: Skad wiadomo ze dla n≥6 ?

n: ?

n: Da sie to wyliczyc?

Mila:

n 2		n*(n−1)
	=
		2

Masz wykazać , że : n^n*(n−1)/2 < ^? n^{(n*(n−1)/2)!} czy n^n*(n−1)/2 < (n*(n−1)/2)!

n: n^n*(n−1)/2 < (n*(n−1)/2)!

Mila: Trzeba trochę policzyć: n∊{2, 3, 4, 5, 6, 7..}

	n 2
		∊{1, 3, 6,10,15,21,...}

	n 2
(		)!∊{1,6,720,3628800,... }

2¹=2 >1! 3³=27 >3!=6 4⁶ >6!=720 5¹⁰>10! bo 10!=2⁸*3⁴*5²*7 możesz sprawdzić w wolframie, ale można tak :

58*52		(2.5)8
	=		>1
28*34*52*7		81*7

6¹⁵<15! Sprawdzić prawdziwość nierówności: n^n*(n−1)/2 <^?(n*(n−1)/2)! dla n≥6 Teraz spróbuj indukcją wykazać prawdziwość. Sprawdź te obliczenia. Jutro pomyślę jak dalej pomóc, może da się prościej Dobranoc

n: Indukcja: Zal., ze n^n(n−1)/2<(n(n−1)/2)!. Pokazemy, ze (n+1)^(n+1)n/2<((n+1)n/2)! L=(n+1)^(n+1)n/2= I jak dalej?

Blee: odnośnie sprawdzenia n=5 10! = 2⁸*3⁴*5²*7 = 4⁴*3⁴*5²*7 = 12⁴*25*7 < 12⁴*25*8 = 12⁴*25*2³ < < 12⁴*25*2⁴ = 24⁴*25 < 25⁴*25 = 25⁵ = 5¹⁰

n: A moze wystarczy udowodnic, ze dla duzych n∊N zachodzi kⁿ≤n! ? Ale jak to wykazac?

Adamm: n! ~ √2πn(n/e)ⁿ

n!
	~ ... → ∞, bo nn to czynnik dominujący
kn

n: Czyli n! jest rzedu wiekszego niz kⁿ. Stad kⁿ≤n! Tak?

n: A jakby wygladal ten dowod indukcyjny?

n: k rzeczywiste, n naturalne Jak wykazac indykcyjnie: kⁿ≤n! ?

jc: Indukcja. Wiemy już, że dla n = 6, n^k < k!, k=n(n−1)/2. Należy wykazać implikację: n^k < k! ⇒ (n+1)^k+n < (n+k)! Implikacja wynika z nierówności: (n+1)^n+k/n^k < (n+1)^k < (n+1)(n+2)...(n+k) Pierwsza z nierówności wynika z nierówności (n+1)ⁿ < n^k prawdziwej już dla k=n+1 i n=3.

n: A mozna tak: k rzeczywiste, n naturalne (tak ogolnie, nie piszac, ze k=... czy n=...) indykcyjnie (wzgledem n): n!≥kⁿ dla n≥6. dla n=6 jest. zal. n!≥ kⁿ wykazac, ze (n+1)!≥kⁿ⁺¹. (n+1)!=n!(n+1)≥kⁿ(n+1)≥kⁿ*k=kⁿ⁺¹ dla n+1≥k, czyli n≥k−1. dobrze?

Adamm: 29 gru 18:18 Tak. Dla dużych n.

n: A to z 3 sty 15:32 ?

n: ?

n: ?