asd bartek: Zbadaj monotoniczność ciągu: an = 2ⁿ⁺¹

Jerzy:

2n+2
	= ?
2n+1

a7: 763 a_n+1=2ⁿ⁺² a_n+1−a_n=2ⁿ⁺²−2ⁿ=2ⁿ*(4−1)=3*2ⁿ jest to większe od zera więc ciąg rosnący widać to też tzw. "gołym okiem" a₁=4 a₂=8 a₃=16 ...... ......itd.

a7: http://matematykadlastudenta.pl/strona/763.html zły link mi się poprzednio wkleił

Jerzy: 16:23. = 2 > 1 , czyli ciąg jest rosnący.

bartek:

2n+2		2n * 4
	=		= 2 dobrze?
2n+1		2n * 2

Jerzy: Tak.

a7: badamy monotoniczność ciągu a nie zbieżność szeregu patrz definicja w linku 16:24

Jerzy: 16:24 , błędne rozwiązanie.

a7: @Jerzy przepraszam, że się upieram, ale ciąg jest rosnący gdy różnica jego kolejnych wyrazów jest większa od zera a nie iloraz 16:23 16:29 błędne rozwiązanie 16:24 rozwiązanie poprawne

Jerzy: @a7, a_n = 2^{n +1} , a nie 2ⁿ

a7: no tak 2ⁿ⁺²−2ⁿ⁺¹= 2ⁿ*(4−1)=3*2ⁿ z definicji ciąg jest rosnący gdy a_n+1−a_n>0 patrz link 16:24

Jerzy: A dlaczego uważasz,że 16:23 to błędne rozwiązanie ?

Jerzy: Często dla ciągów geometrycznych właśnie ten sposób jest lepszy.

a7:

	a1
różnica to nie to samo co iloraz możesz mieć a1=2 a2=1/2		=4 >0 a ciąg nie
	a2

będzie rosnący

Jerzy: Pomyśl chwilę.Przy ciągach geometrycznych liczymy iloraz aⁿ⁺¹/aⁿ, ty policzyłeś a₁/a₂.

Jerzy: Oczywiście to miały być indeksy, a nie wykładniki.

a7: ja policzyłam a₂−a₁ a w przykładzie 16:41 pomyliłam się miało być a₂/a₁ dla przykładu, no nie wiem, ja liczyłam z definicji i nie potrafię podać przykładu, że nie masz racji, więc może Twój sposób dobry rozumiem, że jeśli wychodzi w Twoim sposobie (który dotyczy tylko? ciągów geometrycznych) coś o wartości bezwzględnej większej od 1 to ciąg jest rosnący i jeśli coś mniejszego 1 to malejący |q|<1 no to może masz też rację....

Jerzy: 16:33 , to prawda, ale dla ciągów arytmetyczych,a tutaj „gołym okiem” widać,że ciąg jest geometryczny i przy badaniu monotoniczności obliczamy jego iloraz q = a_n+1/a_n

a7: no nie wiem ja tam bym się trzymała definicji ....

Jerzy: Przy ciągach geometrycznych polecam Ci zdecydowanie moją metodę.

a7: @bartek ja Ci polecam się trzymać definicji

a7: https://zadaniacke.pl/teoria/monotonicznosc-ciagu-geometrycznego/ ok rzeczywiście

Jerzy: Są przykłady ciàgów geometrycxnych ,gdzie łatwiej policzyć iloraz niż różnicę.

a7: ale @bartek i @Jerzy zobaczcie na przykład gdzie q= 3 (−4, −12, −36,......), a ciąg jest malejący jest też przykład, gdzie q= 1/3 a ciąg jest rosnący także przepraszam, ale jednak jestem zdania , że lepiej jest posługiwać się definicją z linku 16:24

PW:

	an+1
		< 1 ⇔ an+1 < an
	an

jest prawdą tylko dla ciągów o wyrazach dodatnich, i dla takich ciągów zamiast badać różnicę można badać iloraz, co bywa wygodniejsze.

a7: ok, rozumiem