czy czy: Czy jeśli dany punkt xo nie należy do dziedziny funkcji f, to automatycznie funkcja w nie jest ciągła w punkcie xo?

Saizou : Tak, warunek ciągłości mówi, że funkcja f jest ciągła w x₀ witw, gdy f(x₀)=lim_x→x0f(x) czyli nie jesteś w stanie obliczyć f(x₀)

jc: Nie mówi się o ciągłości funkcji w punktach nie należących do dziedziny funkcji.

Adamm: Nie. D⊆X, f: D→Y. Załóżmy, że D≠∅ (nie jestem pewien co do przypadku D = ∅). Jeśli X, Y to przestrzenie topologiczne/metryczne, to D traktujemy jako przestrzeń topologiczną/metryczną z topologią podprzestrzeni/obciętą metryką. Na przykład, niech X = Y = R, przy czym definiujemy zbieżność tak jak zwykle. f: D→Y jest ciągła, jeśli dla dowolnego x∊D, i dowolnego ciągu x_n∊D, x_n→x mamy f(x_n) → f(x).

ciekawski : @jc, mówi się.To jest tylko kwestia określenia funkcji.

jc: ciekawski, nie bardzo rozumiem, czy chodzi Ci o ogólną definicję funkcji, czy też o określenie konkretnej funkcji, o której ciągłość pytamy?

Adamm: @jc Co powiesz na coś takiego. Niech f:X→Y, X i Y metryczne. Uzupełnijmy X do Z (klasy abstrakcji ciągów Cauchy'ego). Wtedy powiemy, że f jest ciągła w z∊Z, jeśli dla dowolnego ciągu x_n∊X, x_n→z mamy f(x_n) zbieżny.

Adamm: to odpowiada intuicji studentów/uczniów

jc: Słyszałem, że Sierpiński właśnie tek definiował ciągłość w punkcie skupienia dziedziny leżącym poza dziedziną. Ja jednak wolę definicję, którą można znaleźć we współczesnych podręcznikach, gdzie rozważa się ciągłość tylko w punktach dziedziny. (wikipedia, Rudin, może coś jeszcze − już nie szukałem). Nie ma jednak nic przeciw uzupełnianiu funkcji do funkcji ciągłej (o ile to możliwe).

Adamm: Nawet nie wiedziałem, sam wymyśliłem tą definicję, próbując znaleźć jakiś sens w tym, że funkcja jest ciągła poza dziedziną. Też zazwyczaj odnoszę się do ciągłości w zwykłym sensie. Najwidoczniej, to drugie podejście jest na tyle intuicyjne, że Sierpiński również uważa je za odpowiednie.

Adamm: Uważał.