Liczba królików po n miesiącach tomeczek: W populacji królików każda nowo narodzona para królików po miesiącu rodzi 2 nowe pary królików. Po drugim miesiącu życia nie rodzi nic. Natomiast po trzecim i każdym kolejnym miesiącu rodzi jedną parę. W chwili zero są trzy nowo narodzone pary królików. Podaj rekurencję na an − liczbę par królików po n miesiącach. Zakładamy, że króliki nie umierają.

: nieśmiertelne króliki :

Blee: No to lecimy. Rozważmy: niech n=10 chcemy obliczyć liczbę par po n=10 miesiącach (a₀ = 3) 1) ile par ma minimum 3 miesiące życia? Dokładnie a_n−3 = a₇ par 2) ile par ma dokładnie 2 miesiące życia? Dokładnie a_n−2 − a_n−3 = a₈ − a₇ par 3) ile par ma dokładnie 1 miesiąc życia? Dokładnie a_n−1 − a_n−2 = a₉ − a₈ par Tworzymy ciąg rekurencyjny: a_n = 3*(a_n−1 − a_n−2) + 1*(a_n−2 − a_n−3) + 2*a_n−3 = ... uporządkuj dlaczego tak? Otóż: każda para żyjąca minimum 3 miesiące tworzy jedną nową parę ... więc z każdej pary tworzą się dwie pary (jedna stara + jedna nowa) każda para żyjąca dokładnie 2 miesiące nie tworzy nowej pary ... więc z każdej tej pary zostaje dokładnie jedna para (brak nowej pary) każda para żyjąca dokładnie 1 miesiąc tworzy dwie nowe pary ... więc z każdej pary tworzą się trzy pary (jedna stara + 2 nowe)

tomeczek: Bardzo dziękuję za rozwiązanie! Wszystko jasne i zrozumiałe. Jednak do zadania miałem podaną odpowiedź an = 3 · an−1 − an−2 dla n ­>= 2. Od początku mi ona nie pasowała i to rozwiązanie wydaje się potwierdzać, że jest nieprawidłowa, mam rację?

Pytający: Tak, u Blee jest dobrze (dla n≥3, więc wypada jeszcze jawnie podać a₀, a₁, a₂).