Równanie piątego stopnia Zwieros: 16x⁵−20x³+5x¹+1=0

	√5+1
Mam tylko jeden pierwiastek, który równa się		, i też nie wiem jak został
	4

znaleziony. Proszę o pomoc.

ICSP: x = −1 również jest pierwiastkiem. Po podzieleniu dostaniesz równanie IV stopnia Metoda Ferrariego pozwoli na znalezienie pierwiastków takiego równania.

ICSP: Skoro już rozwiązujesz równania trygonometryczne z cos(5x) i sprowadzasz je do równania wielomianowego powinieneś też widzieć jeden pierwiastek (x = −1).

ABC: dalej próbuje sinus 1 stopnia przez pierwiastniki rzeczywiste wyrazić? uparty typ...

gg:

	1+√5
Jeśli pierwiastkiem jest		, to pierwiastkiem jest także jego sprzężenie
	4

	1−√5
		.
	4

https://www.wolframalpha.com/input/?i=++16x%5E5%E2%88%9220x%5E3%2B5x%2B1%3D0

Zwieros: Dziękuję za szybkie podpowiedzi. Nie wiedziałem, że to jest aż tak łatwe. Sprawdzałem z dodatnią jedynką ale z ujemną nie sprawdziłem.

janek191: Jedynka jest zawsze dodatnia ! 1 > 0

Mariusz: gg to nie jest sprzężenie 16x⁵−20x³+5x+1=0 16 0 −20 0 5 1 −1 16 −16 −4 4 1 0 (x+1)(16x⁴ − 16x³ − 4x² + 4x + 1) Próbujemy zapisać wielomian najpierw w postaci różnicy kwadratów a następnie w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych 16x⁴ − 16x³ − 4x² + 4x + 1 = 0 Grupujemy wyrazy wielomianu , w nawiasie najbardziej na lewo umieszczamy wyrazy z x⁴ oraz z x³ (16x⁴ − 16x³)−(4x² − 4x − 1)=0 Dopełniamy wyrażenie w nawiasie najbardziej na lewo do kwadratu zupełnego pamiętając że cokolwiek dodajemy do wyrażenia w jednym nawiasie musimy dodać do wyrażenia w drugim nawiasie bo pomiędzy nawiasami jest minus Ostatecznie dodamy do całego wyrażenia zero więc to co dodamy nam go nie zmieni Zauważmy też że wyrażenie w tym drugim nawiasie jest trójmianem kwadratowym więc będzie ono kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik będzie równy zero (16x⁴ − 16x³+4x²) − (8x² − 4x − 1)=0 (4x² − 2x)²−(8x² − 4x − 1)=0 Gdybyśmy od razu przyrównali wyróżnik tego trójmianu to mogłoby się okazać że dostaniemy sprzeczność bo wyróżnik po obliczeniu nie będzie równy zero Musimy więc wprowadzić nową niewiadomą aby uzależnić od niej wyróżnik trójmianu kwadratowego Niewiadomą wprowadzamy tak aby wyrażenie w lewym nawiasie nadal było kwadratem zupełnym Znowu korzystamy z wzorów skróconego mnożenia

	y		y2
(4x2 − 2x +		)2−((4y+8)x2 +(−2y− 4)x+		− 1)=0
	2		4

Teraz przyrównujemy wyróżnik do zera i otrzymujemy równanie trzeciego stopnia Tutaj akurat będzie ono już częściowo rozłożone przez co łatwo będzie wyciągnąć wspólny czynnik

	y2
4(		− 1)(4y+8)−(−2y−4)2=0
	4

(y²−4)(4y+8)−(2y+4)²=0 (y²−4)(4y+8)−4(y+2)²=0 (y²−4)(4y+8)−(y+2)(4y+8)=0 (4y+8)(y²−4−y−2)=0 (4y+8)(y²−y−6)=0 y=−2

	y		y2
(4x2 − 2x +		)2−((4y+8)x2 +(−2y− 4)x+		− 1)=0
	2		4

(4x² − 2x −1)²=0

piotr: (4x² − 2x)²−(8x² − 4x − 1)=0 (4x² − 2x)²−2(4x² − 2x) + 1 = 0 (4x² − 2x +1)² = 0

jc: Wiem, że problem rozwiązany. Jednak chciałbym dorzucić pewną uwagę. Podstawiając y=x/2 otrzymamy prostsze równanie 16x⁴ − 16x³ − 4x² + 4x + 1=y⁴−2y³−y²+2y+1 =(y²−y−1)² Łatwiej, gdy liczby są mniejsze.

piotr: skąd ciągle ten minus przy jedynce w nawiasie

jc: Podnieś do kwadratu: 3 kwadraty i 3 podwojone iloczyny. y⁴ + y² + 1 −2y³ − 2y² + 2y

Zwieros: Piotrze w końcowym Twoim równaniu powinno być −1, a tak jest wszystko bardzo dobrze. Dzięki.

Mariusz: piotr: Tak ale chciałem pokazać ogólny sposób redukcji równania czwartego stopnia do równania trzeciego stopnia