Znaleźć wymiary prostopadłościanu o objętości V o najmniejszej powierzchni. Robor: Znaleźć wymiary prostopadłościanu o objętości V o najmniejszej powierzchni. Mój prostopadłościan ma boki a,b i wysokość H. H,a,b >0 V=abH P=2ab+2aH+2bH

	V
H=
	ab

	2V		2V
P(a,b)=2ab+		+
	b		a

dP		2V
	=2b−
da		a2

dP		2V
	=2a−
db		b2

	2V
2b−		=0
	a2

	2V
2a−		=0
	b2

<=> a=V^1/3 b=V^2/3

	16
Chciałbym badać dalej funkcję P, jednak z macierzy wychodzi wyznacznik		−4 i nie wiem,
	V

czy dla punktów, które znalazłem funkcja będzie miała minimum czy maksimum.

jc: Czy interesuje nas wartość najmniejsza, czy ekstremum lokalne? Jak jest dziedzina naszej funkcji? Czy to nie jest zbiór otwarty? Może warto go domknąć. Wtedy będzie można porównać wartość w znalezionym punkcie z wartościami na brzegu. A może trzeba zupełnie inaczej.

jc: Najprościej tak: a, b, c >0 P=2(ab+bc+ca) P/6 = (ab+bc+ca)/3 ≥ ³√a²b²c²=V^2/3 przy czym równość mamy tylko w przypadku ab=bc=ca, czyli dla a=b=c. Wtedy P=6V^2/3, a=b=c=³√V.

Robor: Interesuje nas wartość najmniejsza, czy dobrze myślę? Dziedziną funkcji P jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem a=0 i b=0.

jc: Funkcja P na takiej dziedzinie jest nieograniczona z dołu, zatem nie przyjmuje wartości najmniejszej.

jc: Teraz widzę, że napisałeś na początku, że a, b, c (wolę c zamiast H) są dodatnie. Skąd wiesz, że funkcja przyjmuje wartość najmniejszą? Np. Wartości największej nie przyjmuje.

Robor:

	d2P
Ponieważ,		=2 i to jest większe od 0.
	da2

jc: To, że w punkcie a=b=V^1/3 P posiada minimum lokalne to jasne. Pytam, skąd wiesz, że jest to wartość najmniejsza P.

Robor: Szczerze to nie wiem.

jc: Ja też nie wiem. Można ograniczyć dziedzinę do zbioru ograniczonego i domkniętego, a potem pokazać, że poza tym ograniczeniem jest tylko więcej. W tym zadaniu chyba najłatwiej wykorzystać nierówność poza średnimi.