Kombinatoryka Dominik: Na ile sposobów można rozdać 7 takich samych nagród czterem rozróżnialnym laureatom konkursu? (nie każdy laureat musi dostać nagrodę)

Mila: x₁+x₂+x₃+x₄=7, x_i− nieujemne Liczba rozwiązań: ( po co komu np. 3 jednakowe nagrody, co to może być?)

7+4−1 4−1		10 3		1
	=		=		*10*9*8=120
				6

Dominik: Można prosić o jakieś szersze wyjaśnienie, bo nie bardzo rozumiem? Samo działanie 10 nad 3 wiem jak się robi. Czy jest tu też rozważany przypadek, w którym jeden laureat dostaje 7 nagród, a reszta nic? Bo tak jak mówię, niewiele rozumiem z tych obliczeń.

Pytający: Tak, wszystko jest uwzględnione. Każde możliwe rozdanie możesz przedstawić na 1 sposób jako: N₁ P N₂ P N₃ P N₄, gdzie N_i to nagrody i−tej osoby ustawione w rzędzie, a P to przegroda Znaczy finalnie masz w tym rzędzie ustawionych 7 nagród i 4−1=3 przegrody, łącznie 7+4−1=10 elementów. Nagrody między sobą są nierozróżnialne, podobnie przegrody. Liczą się tylko pozycje tych nagród/przegród. A takich różnych ustawień jest oczywiście

	7+4−1 4−1		7 7		7+4−1 7		3 3
		*		=		*		(wybierasz miejsca dla przegród i dla nagród,

obojętnie w jakiej kolejności; zapis rzecz jasna można uprościć).

Dominik: Ok, mniej więcej rozumiem. Ciekawe, że to się rozwiązuje z tymi przegrodami.

Mila: Studia , czy LO?

Dominik: LO, druga klasa

Mila: Jaką teorię miałeś z kombinatoryki?

Dominik: Póki co nic, z tego co pamiętam, jedynie to co się sam uczyłem na olimpiadę z małą pomocą nauczycielki. A te zadanko podsunął kolega z innego konkursu.

Mila: Możesz się tak pobawić. 4!=1*2*3*4 na tyle sposobów możesz ustawić w rządku 4 różne przedmioty ( osoby, cyfry w liczbie, itp.) Rozpisuj 7 na sumy. 1) ( 7 nagród otrzymuje 1 lub drugi lub trzeci lub czwarty laureat) 7=7+0+0+0 − 4 możliwości ustawienia 4 różne cyfry możesz przestawić na 4! sposobów, trzy cyfry powtarzają się, to trzeba podzielić przez 3!=1*2*3=6

	4!		1*2*3*4
2) 7=6+1+0+0 −		=		=12 możliwości (permutacje z powtórzeniami)
	2!		2

	4!
7=5+1+1+0 −		=12
	2!

	4!
7=5+2+0+0 −		=12
	2!

	4!
7=4+3+0+0 −		=12
	2!

7=4+1+2+0 −4!=24 7=4+1+1+1 −4 możliwości 7=3+3+1+0 −12 7=3+2+2+0 −12 7=3+2+1+1 −12 7=2+2+2+1 −4 ================== 120

Mila: W 3 klasie będziesz miał wyjaśniony ten wzór z wpisu 16:59. Jeśli trochę poczytasz teorii z kombinatoryki, to zgłoś się tutaj.

Dominik: Fajny sposób, dzięki wielkie.

Dominik: Ok.

Mila: Powodzenia, rozwiązuj zadania konkursowe z tych działów, które już znasz.