dowodzenie salamandra: Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y, takich że x < y, i dowolnej

	x+a		y
dodatniej liczby rzeczywistej a, prawdziwa jest nierówność		+		> 2
	y+a		x

Więc tak:

x+a		y
	+		−2 > 0
y+a		x

(x+a)x+y(y+a)−2[(y+a)x]
	>0
(y+a)x

x2+ax+y2+ay−2(xy+ax)
	>0
(y+a)x

x2+ax+y2+ay−2xy−2ax
	>0
(y+a)x

x2−2xy+y2+ax+ay−2ax
	>0
(y+a)x

(x−y)2+a(x+y−2x)
	>0
(y+a)x

(x−y)2+a(−x+y)
	>0 / *(y+a)x
(y+a)x

(x−y)²+a(−x+y) > 0 I moje pytania (jeśli nie popełniłem wcześniej błędu) dotyczą dwóch ostatnich linijek: 1. czy mogę pomnożyć przez mianownik (przecież y>0, a>0, x>0), więc nie muszę się przejmować, że trzeba zmienić ewentualnie znak nierówności? 2. czy dowód zakończą słowa, że pierwszy nawias jest oczywiście dodatni przez kwadrat, a drugi nawias jest dodatni ponieważ a>0 oraz y>x, więc nieważne jaki będzie −x, to y sprawi, że ten nawias i tak będzie dodatni? I w rezultacie suma dwóch dodatnich czynników jest zawsze większa od zera?

ICSP: 1. Podczas mnożenia zaznacz, że mnożysz przez liczbę dodatnią tzn zamiast / *(y+a)x napisz / *(y+a)x > 0 2. Nie wystarcza. Brakuje notki o równoważności wykonanych przekształceń.

ABC: ja myślę że autor zadania spodziewał się że połączysz dwie rzeczy

	x		y
nierówność		+		≥2 − łatwy dowód
	y		x

	x+a		x
nierówność		>		− też nietrudny
	y+a		y

salamandra: "Nie wystarcza. Brakuje notki o równoważności wykonanych przekształceń.", których konkretnie?

ICSP: Wszystkich.

salamandra: Muszę pisać, że (x−y)² to to samo co x²−2xy+y²?

ICSP: ale kiedy i po co masz tak pisać ? Nie ma to związku z wynikiem.

salamandra: To w takim razie nie wiem o co chodzi z tym "Nie wystarcza. Brakuje notki o równoważności wykonanych przekształceń.""

ABC: może ICSP trochę przesadza ale możesz się z tym zapoznać, nie zaszkodzi https://zadania.info/d1/29155

jc: Jeśli nie napiszesz, że kolejne nierówności są równoważne, to będzie się wydawać, że z pierwszej wynika ostatnia, a nie o to nam chodzi. Można napisać nierówności w odwrotnej kolejności i wtedy nie trzeba nic dodawać. Czasem można od jednej strony odjąć drugą i przekształcać, ale w tym nie będzie to dobrze wyglądać. Najładniej iść drogą ABC.

salamandra:

	x		y
Nie wiem jak udowodnić		+		>2
	y		x

salamandra: I dlaczego pozbywamy się ot tak "a"?

Mila: x>0 i y>0 i x≠y

x2+y2
	>2⇔
xy

x²+y²>2xy⇔ (x−y)²>0 Dla x=y

x		y
	+		=2
y		x

=================

a7: @salamandra na początku zrobiłeś DOBRZE, tylko trzeba jak mnożysz przez (y+a)x napisać, że mnożysz przez liczbę większą od zera, gdyż jest to iloczyn dwóch liczb większych od zera, więc nie zmieniasz znaku nierówności (piszesz to, żeby było wiadomo, że masz tą wiedzę, kiedy trzeba a kiedy nie trzeba zmieniać znaku) oraz dopisać 'notkę', że wykonywane przekształcenia są równoważne i będzie ok. Może Mila albo Ktoś jeszcze się wypowie bardziej zrozumiale.

a@b: x,y>0

	x		y
		+		>2
	y		x

Przekształcasz równoważnie x²+y²>2xy (x−y)²>0 ..... dodaj komentarz

salamandra: Dziękuję, jeszcze raz dopytam − dlaczego ot tak pozbywamy się a?

jc: Nie pozbywamy się a, tylko zajmujemy się dwiema prostszymi nierównościami zamiast jedną:

x+a		x
	>
y+a		y

0<x<y, 0<a ay > ax ay+xy < ax+xy (a+x)y<(a+y)x

a+x		x
	>
a+y		y

salamandra: Nie wiem niestety o co chodzi, skąd się wziął ten podział na dwie nierówności, o których wspomniał ABC, więc pozostanę przy swoim sposobie, w którym chyba pewniej się czuje, gdyż nie mam jeszcze takiej wiedzy, żeby dostrzegać takie rzeczy jak Wy, mimo wszystko dziękuję

ICSP: i cyk 0 pkt ^^

salamandra: https://imgur.com/a/5ptOBDu

ICSP: Patrz pierwsza linijka.

salamandra: Czyli rozchodzi się po prostu o to, że nie opisałem tych działań, tak jak np. w karcie odpowiedzi "Z założenia[...]"

jc: Założenia, jak wcześniej.

1+a/x
	> 1 bo mianownik mniejszy od licznika (y>y)
1+a/y

x+a		x
	>		, pomnożyłem obie strony przez x i podzieliłem przez y.
y+a		y

	x		y
A teraz korzystamy ze ZNANEJ nierówności		+		≥ 2
	y		x

i mamy bez liczenia wynik.

ICSP: Chodzi o to, że nie rozróżniasz założenia i tezy. W konsekwencji tego używasz tezy jakby była założeniem. Jeżeli chcesz się dobierać do tezy na początku dowodu to polecam metodę "nie wprost". Zaprzeczasz tezie i próbujesz pokazać sprzeczność.

salamandra: Wybacz, są to moje pierwsze zadania dowodowe, omijałem ich jak ognia, na lekcji też rzadko takowe mam, w związku z tym moja wiedza jest uboga− tym bardziej nt. Założeń, tez, równoważności, co za tym idzie− nie zrozumiałem kompletnie twojej odpowiedzi z 22:38. Jakby mi ktoś moją odpowiedź przerobił tak, abym widział, gdzie czego zabrakło to byłbym wdzięczny, tylko na podstawie tego chyba to zadanie zrozumiem.

Saizou : Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y, takich że x < y, i dowolnej

	x+a		y
dodatniej liczby rzeczywistej a, prawdziwa jest nierówność		+		≥ 2
	y+a		x

Założenia − to wszystkie dane w naszym problemie, z których możemy korzystać, u nas x > 0 oraz y>0 x<y a > 0 Teza − to co chcemy pokazać, czyli

x+a		y
	+		≥ 2
y+a		x

Dowód (na maturze wychodzenie od tezy jest dopuszczalne i wykonywanie przekształceń równoważnych^*)

x+a		y
	+		≥ 2
y+a		x

x(x+a)		y(y+a)
	+		≥ 2
x(y+a)		x(y+a)

x2+ax+y2+ay
	≥ 2
x(y+a)

mnożę przez x(y+a) > 0 (wyrażenie jest dodatnie jako iloczyn dwóch liczb dodatnich, wiec nie zmieniam kierunku nierówności) x²+ax+y²+ay ≥ 2x(y+a) x²+ax+y²+ay ≥ 2xy+2ax redukuję wyrażenia podobne x²−2xy+y²+ay−ax ≥0 zauważamy wzór skróconego mnożenia (x−y)² +a(y−x) ≥ 0 Komentarz: (x−y)² ≥ 0 jako kwadrat liczby rzeczywistej Z założenia mamy a>0 oraz x < y (czyli y−x > 0) zatem a(y−a) > 0 Suma dwóch wyrażeń: nieujemnego i dodatniego jest dodatnia. Powyższy ciąg przekształceń jest przekształceniami równoważnymi zatem prawdziwa jest wyjściowa nierówność

x+a		y
	+		≥ 2
y+a		x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Przekształcenia równoważne: http://www.sem.edu.pl/materialy/nierownosci.pdf na stronie 7 masz je wypisane

salamandra: Dziękuję