Równania różniczkowe drugiego rzędu sprowadzane do rownan rzędu pierwszego UW: Wyznaczyc całke szczególną równania

	2
(1 + x2)y'' + 2xy' =
	x3

	1
y(1)=1, y'(1)=−
	2

Proszę o rozwiązanie krok po kroku

Mariusz: Podstawienie u = y' da równanie pierwszego rzędu

	2
(1+x2)u'+2xu=
	x3

(1+x²)u'+2xu=0 (1+x²)u'=−2xu

u'		−2x
	=
u		1+x2

ln|u|=−ln|1+x²|+ln|C|

	C
ln|u|=ln|		|
	1+x2

	C
u=
	1+x2

	C(x)
u(x)=
	1+x2

	C'(x)(1+x2)−2xC(x)		2xC(x)		2
(1+x2)		+		=
	(1+x2)2		1+x2		x3

C'(x)(1+x2)−2xC(x)+2xC(x)		2
	=
(1+x2)		x3

	2
C'(x)=
	x3

	1
C(x)=−		+C1
	x2

	1		1
u(x)=(−		+C1)
	x2		1+x2

	1		C1
y'(x)=−		+
	x2(1+x2)		1+x2

	1		C1
dy=(−		+		)dx
	x2(1+x2)		1+x2

	1+x2−x2		C1
dy = (−		+		)dx
	x2(1+x2)		1+x2

dy		1		C1
	= (−		+		)
dx		x2		1+x2

	1
y =		+C1arctg(x)+C2
	x

	C1		1
−1+		=−
	2		2

C1		1
	=
2		2

C₁=1

	π
1+		+C2=1
	4

	π
C2=−
	4

	1		π
y =		+arctg(x)−
	x		4

piotr:

	2
(y'(1+x2))' =
	x3

	1
y'(1+x2) = C−
	x2

y'(1) = −1/2 ⇒ C =0 ⇒

	1		1		1
y' = −		=		−
	x2(1+x2)		1+x2		x2

	1
y = atanx +		+ C1
	x

	π
y(1)=1 ⇒ C1 = −
	4