Dowód WhiskeyTaster: Mam pewne trudności z dowodem twierdzenia Stolza:

	xn		xn − xn−1
lim		= lim
	yn		yn − yn−1

Przypuśćmy z początku, że granica ta równa się skończonej liczbie l:

	xn − xn−1
lim		= l
	yn − yn−1

Wówczas dla danej liczby ε > 0 istnieje taki wskaźnik N, że dla n > N jest

	xn − xn−1		ε
|		− l | <		, czyli
	yn − yn−1		2

	ε		xn − xn−1		ε
l −		<		< l +
	2		yn − yn−1		2

Oznacza to, że przy dowolnym n > N wszystkie ułamki

xN+1 − xN		xN+2 − xN+1
	,		, ...,
yN+1 − yN		yN+2 − yN+1

xn−1 − xn−2		xn − xn−1
	,
yn−1 − yn−2		yn − yn−1

leżą pomiędzy tymi krańcami. Ponieważ mianowniki, ze względu na wzrost y_n są od pewnego n dodatnie, więc między tymi krańcami leży również ułamek

xn − xN
yn − yN

No i tu mam odrobinę problem. Suma liczników tych ułamków daje x_n − x_N, zaś suma mianowników tych ułamków daje y_n − y_N. Ale nie widzę tego, że on tam jest. Jak to sobie rozjaśnić?

a7: https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=192267

a7: w podanym linku ktoś zastanawiał się nad tym samym i ktoś mu podał trik na zrozumienie i to mu pomogło może i Tobie to rozjaśni

WhiskeyTaster: O, teraz rozumiem, o co chodzi. Możemy zacząć stosować tę zależność od prawej strony, to znaczy:

xn−1 − xn−2		xn − xn−2
	<		<
yn−1 − yn−2		yn − yn−2

	xn − xn−1
<
	yn − yn−1

I tak po kolei, aż otrzymamy to, co wyszło. Dziękuję, a7, wątpię, że sam bym na to szybko trafił, a tak, to już z głowy. Tego zdecydowanie brakowało w książce.

WhiskeyTaster: Oczywiście mała uwaga dla tych, którzy kiedyś natrafią na podobny problem: tutaj ustawiłem nierówności tak, by stosowanie tej zależności było intuicyjne. W rzeczywistości ostatni wyraz tego ciągu nie musi być największy, wszystko może być przemieszane. To tylko wizualizacja.

a7: