rozwiąż równanie p(x-1)+p(x+2)=3 Asia12: rozwiąż równanie √(x−1)+√(x+2)=3

Jerzy: Zrób założenia i podnieś obustronnie do kwadratu.

Des: Jerzy, mógłbyś określić dziedzinę? jedna rzecz mnie zastanawia

Blee: to napisz która rzecz

Jerzy: 1) x + 2 ≥ 0 2) x − 1 + √x + 2 ≥ 0 ⇔ √x + 2 ≥ 1 − x i teraz trzeba rozwiązać tą nierówność.

ICSP: Funkcja po lewej stronie jest rosnąca. Ponadto Dla x= 7 mamy √7 − 1 + √7 + 2 = √6 + 3 = 3 Zatem x = 3 jest jedynym rozwiązaniem.

ICSP: x = 7*

jc: Może nie przejmować się założeniami, poza oczywistym, że zachodzi równość. Na koniec sprawdzasz, które x spełnia równanie. Tak jest prościej, niż cały czas dabać o równoważności. √x−1 + √x+2 = 3 czy (x−1 + √x+1)^1/2 = 3 W pierwszym przypadku x=2 jest rozwiązaniem (chyba widać?). Wyrażenie rośnie wraz z x, więc innych rozwiązań nie będzie.

Des: w 2) x − 1 +√x+2 ≥ 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− x −1 ≥ −√x + 2 / ()² x² − 2x + 1 ≥ x+2 x² −3x −1 ≥ 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √x+2 ≥ 1 − x / ()² x + 2 ≥ 1 −2x + x² x² −3x −1 ≤ 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− To pierwsze jest prawdą, więc w drugim podnosząc do kwadratu trzeba zmienić znak ale skąd to wiedzieć jeśli np: dla x = 0 √2 ≥ 1 po podniesieniu do kwadratu: 2 ≥ 1 → prawda dla x = 1 √3 ≥ 0 analogicznie: 3 ≥ 0 → prawda x = 4 √6 ≥ −3 / ()² 6 ≥ 9 → tutaj już trzeba będzie znak zmienić Jest jakiś sposób aby unikać tych pułapek? Troche kombinowałem i zrobiłem w ten sposób: x − 1 +√x+2 ≥ 0 x + 2 + √x+2 − 3 ≥ 0 t=√x+2 ⋀ t ≥ 0 t² + t − 3 ≥ 0

	−1 − √13
t1 =		∉D
	2

	−1 + √13
t2 =		∊D
	2

więc

	−1 + √13
√x + 2 ≥
	2

	3 − √13
x ≥
	2

po uwzględnieniu, że x ≥ −2

	3 − √13
x ≥
	2

W ten sposób 'bezpiecznie' udało mi się wyznaczyć dziedzinę... Można to zrobić inaczej? łatwiej?

Jerzy: √x + 2 ≥ 1 − x Dla: 1 − x < 0 nierówność jest zawsze prawdziwa Dla: 1 − x ≥ 0 podnosisz obustronnie do kwadratu

Des: Dla: 1 − x ≥ 0 (Rozważając tylko x∊N) dla x < 4 Przy podnoszeniu do kwadratu znaku zmieniać nie trzeba ale dla x ≥ 4 , trzeba

Des: I w tym jest problem, że na pierwszy rzut oka ciężko stwierdzić którą operację należy wykonać: √x + 2 ≥ 1 − x / ()² (ze zmianą znaku) czy x − 1 ≥ − √x + 2 / ()² (bez zmiany znaku)

Jerzy: Czytaj uważnie 13:58. Jeśli prawa strona jest ujemna,to nierówność √x + 2 ≥ 1 − x jest zawsze prawdziwa, a dla 1 − x ≥ 0 podnosisz obie strny do kwadratu bez zmiany znaku.

Des: Rzeczywiście, całkowicie o tym zapomniałem... Dla x ≤ 1

	3 − √13
Przedział się zamknie: x∊ [		; 1 ]
	2

Dla x > 1 tożsamość

	3 − √13
x∊[		; ∞ ]
	2

Wielkie dzięki