Przeksztalcenia liniowe Student: Wiem w jaki sposób liczyć jądro i obraz przekształcenia w przypadku podanego wzoru np f(x,y,z)−>(x+2y,x−z,y+z) W jaki sposob wyznaczac jadro i obraz gdy dana jest tylko macierz

ABC: umiesz zagotować wodę gdy masz pusty czajnik na podłodze co robisz gdy widzisz pełny czajnik na stole? postaw czajnik na podłogę i wylej wodę , sprowadź do przypadku który już znasz

Student: Pytanie jak to zrobić :c

Adamm: f:X→Y Jądro to zbiór (x, y, z, ...) takich, że f(x, y, z, ...) = 0 Obraz to zbiór f(X).

Student: Rozumiem ,ale jak to zrobic w momencie gdy podana jest tylko macierz

ABC: macierz niesie informację na podstawie której możesz napisać wzór

Student: Domyślam się tego tylko właśnie w jaki sposób to zrobić Załóżmy się ,że macierz wygląda [2,1,3] [5,4,8] czy z tego wynika ze wzor przeksztalcenia to f(x,y,z)=(2x+y+3z,5x+4y+8z) ?

ABC: to zależy jakie masz bazy w obu przestrzeniach, najprostsza sytuacja jest w bazach kanonicznych

Student: Czyli w bazie kanoniczne wyglądałoby to tak jak napisałem ?

Student: Co w przypadku innych baz ?

ABC: w przypadku innych baz jest reguła w każdym porządnym podręczniku która mówi czym są kolumny tej macierzy

Student: Problem w tym ,że jej nie rozumiem Załóżmy ,że mamy macierz przekształcenia [−2,−4] [4, 7] w bazie u1=[1,1] u2=[1,2] W jaki sposób dojść do tego wzoru przekształcenia ?

ABC: rozumiem że mówisz o przekształceniu z R² do R² gdzie w jednej i w drugiej przestrzeni masz taką samą bazę? Ważne żebyś pisał jawnie takie rzeczy przy takiej umowie twoja macierz oznacza że f(1,1)=−2(1,1)+4(1,2) f(1,2)=−4(1,1)+7(1,2) przedstawiasz (x,y)=α(1,1)+β(1,2) , znajdujesz α,β z układu równań i masz wzór funkcji

Student: A w przypadku gdy przestrzenie są opisane przez różne bazy ?

ABC: podobnie tylko będą tam wektory drugiej bazy to wszystko jest w książkach idę spać

Student: A co w przypadku gdy jest podana macierz przekształcenia w pewnej bazie i informacja ze jest to przekształcenia z V−>V i trzeba policzyć obraz oraz jądro

Student: ?

jc: Spróbuj taki przykład. {a,b} = baza V, f:V→V f(a)=a+3b f(b)=2a+6b Obraz = jądro =

Student: Czy ten zapis oznacza to samo co f(a,b)−>[a+3b,2a+6b]?

jc: Nie. Ten zapis oznacz dokładnie to, co napisałem, a mianowicie, że obrazem a jest a+3b, a obrazem b jest 2a+6b.

jc: Przypomnę: a, b to wektory bazy.

jc: Napisz chociaż macierz tego przekształcenia.

Student: [1, 3] [2, 6] Tak ?

jc:

	1 2 3 6
Nie, macierz wygląda tak:		.

Ustalając bazę, utożsamiasz V z R².

	x y
Wektorowi xa+yb ∊ V, przypisujesz wektor		∊ R2.

Student: Czyli koniec końców jak to będzie wyglądać jak mam macierz a nie mam podanych baz

Student: Czyli baza wtedy są wektory w macierzy ?

Student: [1,0,3] [0,1,0] To (1,0) (0,1) (3,0) są baza ?

Student: ?

Student: Czy w tym wypadku baza będzie po prostu kanoniczna ? Proszę o odpowiedz

jc:

	a b c d		a b c d	x y		ax+by cx+dy
Macierz		koduje przekształcenie R2→R2:			=		.

Student: Dobra o to mi chodziło dzięki !