równanie rekurencyjne mat123: Rozwiąż równanie rekurencyjne niejednorodne postaci: a_n − 6a_{n − 1} + 9a_{n − 2} = 2 * 3ⁿ dla n >= 2, a₀ = 0, a₁ = 2 Pierwiastkiem równania jednorodnego jest q = 3. Natomiast nie wiem co dalej z tym zrobić i jak to zapisać. Bardzo proszę o pomoc

ABC: ja bym ci rozpisał ale przyjdzie Mariusz i opieprzy mnie bo nie lubi tej metody on uznaje tylko funkcje tworzące. Pierwisatek równania jednorodnego masz podwójny, wiesz jak wygląda baza przestrzeni rozwiązań w takim przypadku?

mat123: Niestety nie mogę jeszcze użyć funkcji tworzących Czy chodzi o to że powstaje mi takie równanie: − c₁ * n² + (4c₁ − c₂) * n − 2 * c₁ − 2 * c₂ − c₃ = n² + n + 2 ? Lewa strona jest już po uproszczeniu

Mariusz: ABC ja tak na dobrą sprawę znam też metodę zbliżoną do tej wykorzystywanej przy rozwiązywaniu równań różniczkowych Równanie jednorodne zapisujemy w postaci układu równań i rozwiązujemy go sposobem algebraicznym obliczając potęgę macierzy wykorzystując diagonalizację lub rozkład Jordana Do diagonalizacji przydatne będą wartości i wektory własne Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego znajdujemy uzmienniając stałe z tym że zamiast wrońskianu mamy casoratian a zamiast całkować sumujemy Podczas obliczania sum przydatny będzie rachunek różnicowy oraz sumowanie przez części

Mariusz: a_n+2 − 6a_{n + 1} + 9a_n = 2 * 3ⁿ⁺² a_n+2 − 6a_{n + 1} + 9a_n = 18 * 3ⁿ a_n+1=b_n b_n+1=−9a_n+6b_n Jak znaleźć rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego masz np tutaj http://www-users.mat.uni.torun.pl/~much/RR/REKUR_2_liniowe_13xi2006.pdf

Mariusz: P= 1 0 3 1 J= 3 1 0 3 A=PJP⁻¹ Aⁿ=PJⁿP⁻¹ Aby obliczyć potęgę macierzy J zapisujesz macierz J w postaci sumy dwóch macierzy przy czym jedna z nich jest diagonalna a następnie korzystasz z dwumianu Newtona Od pewnego momentu składniki w tym dwumianie Newtona powinny się zerować

mat123: Bardzo ciekawa metoda, niestety nie była ona podana na zajęciach Muszę to zrobić "zgadując" rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego, natomiast nie wiem jak to zrobić

Mila: (*) a_n − 6a_{n − 1} + 9a_{n − 2} = 2 * 3ⁿ dla n≥2, a₀ = 0, a₁ = 2 1) rozwiązanie równania charakterystycznego x²−6x+9=0 (x−3)²=0 x=3 − pierwiastek podwójny f(n)=2*3ⁿ 2) przewidywana postać rozwiązania: a_n=a_n⁽¹⁾+a_n⁽²⁾ gdzie: a_n⁽¹⁾=A*3ⁿ+B*n*3ⁿ i a_n⁽²⁾=C*n²*3ⁿ Podstawiam do (*) aby wyznaczyć C C*n²*3ⁿ−6*C*(n−1)²*3ⁿ⁻¹+9*C*(n−2)²*3ⁿ⁻²=2*3ⁿ stąd : C=1 i a_n⁽²⁾=n²*3ⁿ 3) a_n=A*3ⁿ+B*n*3ⁿ +n²*3ⁿ a₀=0=A*3^o+B*0*3⁰+0⇔ A=0 a₁=2=0+B*1*3¹+1*3¹ 3B+3=2

	1
B=−
	3

4)

	1
an=−		n*3n+n2*3n
	3

	1
an=3n*(−		n+n2)⇔
	3

a_n=(3n²−n)*3ⁿ⁻¹ ===================== sprawdzaj czy zgadza się z wzorem rekurencyjnym

Mariusz: mat123 czemu słowo zgadując dałeś w cudzysłów Do tego sposobu ono bardzo pasuje Ja lubię sposób wspomniany przez ABC ale sposób który podałem ten z potęgą macierzy i uzmiennianiem stałych jest do zaakceptowania bo nie ma w nim tyle zgadywania No ale jak was zmuszają aby z tych ciekawszych metod nie korzystać to może lepiej zgadywać bo inaczej wam nie zaliczą