Trudny dowód Heniu: udowodnij że jeśli liczby a,b,c,d spełniają warunek a<b<c<d to (a+b+c+d)²−8ac−8bd jest większe od 0

jc: Ostatnio było coś podobnego. f(x)=(x−a)(x−c)+(x−b)(x−d) = 2x²−(a+b+c+d)x+(ac+bd) Twoje wyrażenie to Δ. Jeśli b < t < c, to t−a > 0, t−c < 0, (t−a)(t−c) < 0. Podobnie t−b>0, t−d <0, (t−b)(t−d)<0 Dlatego f(t)<0, co oznacza, że Δ>0.

Heniu: Dziękuję

Heniu: Ale nie bardzo rozumiem

jc: Wyrażenie, o które pytasz to wyróżnik pewnego wielomianu. Skąd wiem? Widziałem wczoraj zadanie, gdzie ktoś (może Ty) pytał o to, czy wielomian ten ma pierwiastki. Wielomian przy x² ma dodatni współczynnik, poza tym dla pewnych wartości x przyjmuje wartość ujemną. Musi więc w dwóch miejscach przyjąć wartość zero, a tym samym Delta musi być dodatnia.

ICSP: f(x) = (x−a)(x−c) + (x−b)(x−d) f(b) = (b−a)(b − c) < 0 tak samo dla f(c)