zbieznosc
topolog: Mam takie zadanko: niech x
0 będzie ustalonym punktem w przestrzeni metrycznej (X, d
E). Mam
pokazać, że f: X → R zadana wzorem f(x) = d
E(x, x
0) jest ciągła. Oczywiście d
E to metryka
euklidesowa.
No to funkcja jest ciągła w x
0, jeśli dla każdego ciągu x
n, zbieżnego w X do x
0, ciąg f(x
n)
→ f(x
0). Czyli chcę, aby x
n → x
0, tak?
d
E(x, x
0) = |x − x
0| = f(x). Chcę w takim razie pokazać, że f(x
n) → f(x
0).
No więc d
E(f(x
n), f(x
0)) → 0 ⇔ f(x
n) → f(x
0).
No to teraz: lim
n → ∞ f(x
n) = lim
n → ∞ |x
n − x
0| → 0.
Wobec tego, skoro f(x
0) = 0 i f(x
n) → 0, to f(x
n) → f(x
0).
Czy jest to sensowne? Gubię się w tym powoli
3 gru 15:21
jc:
|f(x)−f(xn)| = |d(x,x0) − d(xn,x0)| ≤ d(x,xn)
Dlatego to f(xn) →f(x) przy xn →x.
3 gru 15:51
jc: Usuń "to".
3 gru 15:52
topolog: Okej, dziękuję
3 gru 15:57
Adamm:
To X⊆R ? Niejasna treść
3 gru 15:58
jc: Tak, pogubiłeś się w tym trochę.
f(x)=d(x,x0) to odległość od ustalonego punktu.
xn →x, oznacza, że d(xn,x)→0.
To nie musi być metryka Euklidesowa.
3 gru 15:58
topolog: Adamm, tak mi się wydaje, w samej treści zadania nie ma o tym ani wzmianki
A metryka taka, jaką podali w zadaniu. Zdałem sobie jednak sprawę, że źle patrzyłem na ten
punkt x
0, jako granicę, którą nie jest
3 gru 21:03