Układ równań
52: Co jest rozwiązaniem poniższego układu?
3x−2y+z=1
−6x+4y−2z=2
Układ jest sprzeczny? Ponieważ więcej jest niewiadomych niż równań?
2 gru 19:05
jc:
3x−2y+z=1
3x−2y+z=1
czyli faktycznie mamy jedno równanie.
x, y możesz wybrać dowolnie, z=1−3x+2y.
2 gru 19:09
52: Mam takie odpowiedzi:
Układ sprzeczny
Rozwiązaniem jest punkt (jedno rozwiązanie)
Rozwiązaniem jest prosta (nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru)
Rozwiązaniem jest płaszczyzna (nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów)
Rozwiązaniem jest przestrzeń trójwymiarowa (nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od trzech
parametrów)
2 gru 19:09
52: A faktycznie, jak drugie równanie podzielimy przez −2 to wychodzi pierwsze równanie...
2 gru 19:10
52: Czyli prawidłową odpowiedzią będzie Rozwiązaniem jest płaszczyzna (nieskończenie wiele
rozwiązań zależnych od dwóch parametrów)
Zgadza się?
2 gru 19:11
Des:
rz(A) = 1 rz(B) = 2
rz(A)≠rz(A|B)
Na podstawie twierdzenie Kroneckera−Capellego można stwierdzić, ze układ jest sprzeczny
2 gru 19:12
52: Chociaż nie...
Jak podzielimy drugie równanie przez −2 to wyjdzie
3x−2y+z=1
3x−2y+z=−1
2 gru 19:12
Des:
*rz(A|B) = 2
2 gru 19:12
jc: Tak.
2 gru 19:12
jc: Aj, masz rację.
No to mamy układ sprzeczny.
2 gru 19:13
Des:
rz(A|B) z minoru:
|1 1|
|−2 2|
2 gru 19:13
jc: Po odjęciu otrzymasz 0=2.
2 gru 19:14
52: Des a co dałeś jako macierz A i jako macierz A|B ?
2 gru 19:14
Des: Dla A możesz przyjąć dowolną liczbę ≠ 0, bo nie istnieje minor z A rzędu 2
2 gru 19:17
52: Ok, dobra
Macierz A jest równa
3 −2
−6 4
A|B też już wiem
Dzięki za pomoc
2 gru 19:17
52: A jeszcze ostatni układ równań
3x−2y+5z=1
x−y+z=1
rank A=2
rank A|B=2
Tak?
2 gru 19:18
Des: Tak
2 gru 19:19
Des: n − liczba niewiadomych
n > r → ∞ wiele rozwiązań
2 gru 19:19
52: Ok, czyli pozostają nam takie odpowiedzi do wyboru
Rozwiązaniem jest prosta (nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru)
Rozwiązaniem jest płaszczyzna (nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów)
Rozwiązaniem jest przestrzeń trójwymiarowa (nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od trzech
parametrów)
Z racji, że mamy 3 niewiadome to przestrzeń trójwymiarowa odpada...
Zostaje nam prosta i płaszczyzna... Tylko, które?
2 gru 19:21
Des:
rozwiązania w zależności od parametru = n − r
2 gru 19:23
jc:
3x−2y+5z=1
x−y+z=1
x−y+z=1
x+3z=−1
z dowolne
x=−1−3z
y=...
To prosta.
2 gru 19:24
52: Ok, dziękuję bardzo za pomoc
2 gru 19:30