Ciało Justyna: Wyłączając ze zbioru wielomian zerowy definiujemy iloczyn wielomianów w1(x), w2(x) w zbiorze A jako resztę z dzielenia iloczynu w1(x)w2(x) przez wielomian x³ + x + 1 (nad ciałem Z₂) Co oznacza to zdanie?

jc: Prościej tego się nie powie. Ale można policzyć wszystkie iloczyny. A={1, x, 1+x} Mnożenie jet przemienne, więc mamy tylko 6 różnych iloczynów. 1*1=1 1*x=x 1*(1+x)=1+x x*x=1+x x*(1+x)=1 (1+x)*(1+x)=x

Justyna: A co z x² np.

Justyna: Ciało A nie powinno mieć x², x²+1, x²+x, x²+x+1, x, x+1, 1

Justyna: Bo bez wielomianu zerowego

jc: Może któryś przypadek dokładniej wyjaśnię. (1+x)(1+x)=1+2x+x²=1+x²=(1+x+x²)+x Dlatego reszta z dzielenia (1+x)(1+x) przez wielomian 1+x+x² równa jest x. Wykorzystałem fakt, że 1+1=0. 2x oznacza x+x, czyli 0. Powyżej gwiazdką oznaczyłem iloczyn w zbiorze A.

Justyna: I bez 1 w sumie

Justyna: Rozumiem resztę z dzielenia, ale nie rozumiem czemu w ciele A są tylko 1,x,1+x

jc: Aj, nie zauważyłem, że tam jest x³. No to mamy większą tabelę (7x7, ale symetryczną) Przykład. (1+x²)(1+x)=1+x+x²+x³=(1+x+x³)+x² Wniosek. (1+x²)*(1+x)=x².

Justyna: Czyli tabelą mnożenie w tym przypadku będzie po prostu taka tabela modulo ok. Jeśli mogę to poprosiłabym o wytłumaczenie też ostatnich dwóch zdań. Czy A \ {0} wraz z powyżej zdefiniowanym mnożeniem jest grupą? Które z wielomianów stopnia 3 nad Z2 są nierozkładalne na iloczyn wielomianów stopnia niższego niż 3.

jc: Wystarczy, że wielomian f=x³+x+1 jest nierozkładalny. Jak to sprawdzić? Gdyby był rozkładalny, to jeden z czynników byłby liniowy i miałby pierwiastek, a tym samym nasz wielomian miałby pierwiastek. f(0)=1, f(1)=1, f nie ma pierwiastków, więc zgodnie z tym, co zostało powiedziane wcześniej, jest nierozkładany.

Justyna: Dziękuję bardzo