Udowodnij, że nierówność jest prawdziwa next: Udowodnij, że nierówność jest prawdziwa dla x, y ∊ R 2x²+5y²+10 >6xy+4y

Maciess: 2x²+5y²+10−6xy−4y>0 /*2 4x²+10y²+20−12xy−8y>0 (2x−3y)²+(y−4)²+4>0 L=(2x−3y)²+(y−4)²+4≥0+0+4=4>0=P

salamandra: Jak wpadać na pomysły przy tego typu zadaniach? Od czego w ogóle zaczynać?

Maciess: Szukać wzorów skróconego mnożenia. W tych zadaniach maturalnych często jak sie nie widzi jak pozwijać wyrazy, to pomnozenie przez stałą coś dawało. Tu akurat wpadłem szybko na to, choć nigdy te zadania nie szły mi zbyt sprawnie i zajmowały sporo czasu. Zacząłem od tego, że musze się pozbyc 8y i wpasować do takiego wzoru. Potem szukałem takiego wyrazenia, żeby pozbyć się calej reszty ( i o dziwo się udało).

Maciess: Można jeszcze potraktować to jako nierówności kwadratowe. Ze zmienna x i stałą y − udowodnić, że zawsze jest większe od 0 Ze zmienną y i stała x − udowodinć, że zawsze jest większe od 0.

next: Dziękuję

jc: Tu akurat sprawdziła się diagonalizacja Lagrange, oparta wprost na wzorach skróconego mnożenia. Dopisałem z i zastosowałem algorytm. 2(2x²+5y²+10z²−6xy−4yz) =4x²+10y²+20z²−12xy−8yz =(2x−3y)²+y²−8yz+20z² =(2x−3y)²+(y−4z)²+4z² Dla z=1 mamy to, co napisał Meciess.