Liczby zespolone Lancelot:

	1+iz
Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbior liczb spełniających warunek : Im		=1
	1−iz

proszę o pomoc

Lancelot: Proszę o pomoc, naprawdę nie wiem jak to ugryźć, próbowałem sprzężenia oraz za z= x+iy i nie idzie

jc:

1+iz		1+iz
	−(		)*=2i
1−iz		1−iz

(1+iz)(1+iz^*)−(1−iz)(1−iz^*)=2i(1−iz)(1+iz^*) z+z^*=(1−iz)(1+iz^*)=1−iz+iz^*+zz^* (z−1+i)(z^*−1−i)=(1+i)(1−i)−1=1 |z−1+i|=1 Okrąg o środku w punkcie 1−i i promieniu 1 (bez punktu −i).

Des:

1 + iz		1 + iz		1 + 2iz − z2
	*		=
1 − iz		1 + iz		1 + z2

Lancelot: jc mógłbyś powiedzieć jakich operacji dokonales?

Lancelot: Des doszedłem do tego momentu i to nic nie daje

jc:

	w+w*
im w =		czyli im w = 1⇔ w+w*=2i
	2i

Dalej zwykłe rachunki (sprzężenie zachowuje działania).

Lancelot: Ta gwiazdka na górze to sprzężenie?

jc: Tak, gwiazdka oznacza sprzężenie.

Lancelot: O to dziękuję bardzo A swoją drogą nikt nam nie mówił o tej własności, a tego zadanka inaczej się nie ruszy tak ?

Lancelot: A jeszcze pytanko ostatnie tam napisałeś w+ w* = 2i A postawiłes z minusem od razu dlaczego ?

jc:

	w−w*
Pomyliłem się, powinno być Im w =		, w−w*=2i
	2i

jc: O jakiej własności wam nie mówiono?

	z+z*
Re z =
	2

	z−z*
Im z =
	2i

(z+w)^*=z^* + w^* (zw)^*=z^* w^* (z/w)^*=z^* / w^* zz^*=|z|²

Lancelot:

	w−w*		x+iy−x+iy		2iy
A ten wzor wynika stąd że Im(w) =		=		=		=y dobrze
	2i		2i		2i

myślę?

Lancelot: No właśnie o dwóch pierwszych wykładowca nie wspomniał

Lancelot: Czyli jak mam narysować zbior liczb spełniających te warunki i mam Im lub Re z ulamka liczby zespolonej to mam korzystać ze wzoru 1 badz 2 ?

jc: Dobrze. Myślałem, że o tym zawsze się mówi, jeśli mówi się o Im z i Re z.

Lancelot: Dzięki wielkie za pomoc !

Pytający: Cóż, na polskiej wiki też ów wzór nie jest wspomniany. Na angielskiej i owszem: https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Conjugate

jc: Zawsze możesz tak próbować. Wynik jest do przewidzenie, jak się wie, że funkcja homograficzna przekształca proste i okręgi w proste i okręgi. Dobrze jest dołączyć symbol ∞. Wtedy nie będzie dziur.

jc: Faktycznie nie ma w wiki. To może trzeba dopisać?

Lancelot: Przyda się przyszłym pokoleniom !

Des:

	1+iz		1+iz
To jest Im(		) = 1 czy Im(		=1) ?
	1−iz		1−iz

Lancelot: To pierwsze

Des: Lancelot pytałeś czy idzie to ruszyć inaczej, ja zrobiłem w ten sposób ( trochę dłuższy... )

1 + iz		1 + iz		1 + iz		1 + iz
	=		=		=
1 − iz		1 − i(x + yi)		1 − ix + y		(1 + y) − xi

	1 + iz		(1 + y) + xi
=		*		=
	(1 + y) − xi		(1 + y) + xi

	(1 + ix −y)*(1 + y+ xi)		1 + 2xi − x2 − y2
=		=
	(1 + y)2 + x2		(1 + y)2 + x2

	1 + 2xi − x2 − y2		2x
Im(		) =		= 1
	(1 + y)2 + x2		(1 + y)2 + x2

2x = (y + 1)² + x² (y + 1)² + (x² − 2x + 1) − 1 = 0 (y + 1)² + (x − 1)² = 1