Własności relacji: Olga: Własności relacji: X = R, xRy ⇐⇒ |x| = |y|, zwrotna: tak bo |x| = |x| symetryczna: tak bo |x| = |y| ⇔ |y| = |x| przechodnia: tak bo |x| = |y|⋀ |y| = |z| ⇒ |x| = |z| antysymetryczna: nie bo gdy xRy i yRx x i y mogą różnić się znakami. Czy to jest dobrze? i jeszcze do końca nie rozumiem jak udowodnić spójność(bądź zaprzeczyć)

ite: Zwrotna, symetryczna, przechodnia OK wykazane. Jak definiujesz relację antysymetryczną? A jak spójną?

Olga: zwrotność to jeżeli xRy i yRx to x=y, ale mogę się mylić. A spójność to że zachodzi relacja przynajmniej z jednej strony. (xRy lub yRx)

ite: Ważna część def. relacji antysymetrycznej (tych wcześniejszych też) (∀x,y∊X) (xRy ∧ yRx) ⇒ x=y Zamiast pisać, że "x i y mogą różnić się znakami", najlepiej podać parę liczb o różnych znakach należącą do relacji. I pokazać, że dla niej implikacja użyta w definicji nie jest prawdziwa.

ite: W def. relacji spójnej też wystepuje kwantyfikator. Wystarczy znaleźć jedną parę liczb rzeczywistych x i y o różnych wartościach bezwzględnych. Dla nich nie jest prawdą ani xRy ani yRx.

Adamm: Jak już mówiłem, każda relacja zdefiniowana przez funkcję jest relację równoważności. Tzn. jeśli istnieje funkcja f(x), taka, że x ~ y ⇔ f(x) = f(y), to ~ jest relacją równoważności. Powiem więcej, zbiory postaci f⁻¹(y), o ile są niepuste, to dokładnie są klasy abstrakcji relacji ~.

Adamm: Tu, f:R→R₊, f(x) = |x| jest suriekcją która definiuje nam relację ~, jest ona zatem relacją równoważności. Jej klasy abstrakcji, to zbiory f⁻¹(x) = {x, −x}, gdzie x∊R₊

Adamm: Dla relacji równoważności, zdefiniowanej przez funkcję f, spróbujemy znaleźć charakteryzację różnych własności tej relacji. Antysymetryczność zachodzi wtedy, kiedy f(x) = f(y) ⇒ x = y, to znaczy, f jest funkcją różnowartościową. Inaczej mówiąc, kiedy wszystkie klasy abstrakcji tej relacji są jedno−elementowe. Spójność (nie ważne jak zdefiniowana), zachodzi wtedy, kiedy f(x) = f(y) dla każdego x, y, to znaczy, kiedy f jest funkcją stałą. Inaczej mówiąc, relacja ma tylko jedną klasę abstrakcji.

ite: Czy 20:42 nie powinno być (...) gdzie x∊R₊U{0} ?

Adamm: Zależy od definicji R₊. Ja sobie definiuję R₊ = {x∊R : x≥0}

ite: I dzięki temu wszystko się zgadza. Można wracać do Black Friday.