Równanie trygonometryczne Ania: rozwiązać równanie sinx+cosx=√2/2 na przedziale x∊<π/2;2π> Mój sposób: Podnoszę stronami do kwadratu sin²x+2sinxcosx+cos²x=1/2 2sinxcosx+1=1/2 2sinxcosx=−1/2 sin2x=−1/2 2x=−π/6 + 2kπ ⋁ 2x=−5π/6 + 2kπ x=−π/12 + kπ ⋁ x=−5π/12 + kπ Mamy określony przedział, więc: Dla k=1 mamy x=−π/12 + π = 11π/12 ⋁ −5π/12 + π = 7π/12 OBA NALEŻĄ DO PRZEDZIAŁU Dla k=2 mamy x=−π/12 + 2π = 23π/12 ⋁ −5π/12 + 2π = 19π/12 OBA NALEŻĄ DO PRZEDZIAŁu Więc wydawało by się, że mamy cztery rozwiązania, jednak w odpowiedziach jest tylko 7π/12 i 23π/12 Wolfram mówi to samo, więc gdzieś w moim rozwiązaniu jest błąd, tylko nie wiem gdzie ...

salamandra: sin2x=−1/2 2x=−π/6 + 2kπ ⋁ 2x=7π/6 + 2kπ x= −π/12+2kπ v x = 7π/12 + 2kπ

Saizou : Podnoszenie do kwadratu generuje dodatkowe rozwiązania np. x=1, gdy podniesiemy do kwadratu mamy x²=1 x²−1=0 (x−1)(x+1)=0 x=1 lub x=−1 Gdy podnosisz do kwadratu obydwie strony muszę być tego samego znaku (lub równe zero) Ewentualnie można sprawdzać podane wyniki (tzw. metoda analizy starożytnych)

salamandra:

	−π		π
Wydaje mi się, że w drugim przypadku zapomniałaś że będzie π−(		) więc π+
	6		6

A@b:

	π
sinα+cosα= √2cos(α−		)
	4

a@b:

Mila:

	√2		√2
sinx+cosx=		/*
	2		2

√2		√2		1
	sinx+		cosx=
2		2		2

	π		π		1
sinx*cos(		)+sin(		)*cosx=
	4		4		2

	π		1
sin(x+		)=
	4		2

	π		π		π		5π
x+		=		+2kπ lub x+		=		+2kπ
	4		6		4		6

	−π		7π
x=		+2kπ lub x=		+2kπ i x∊<π/2;2π>
	12		12

	−π		7π
k=0⇔x=		∉D lub x=		x∊<π/2;2π>
	12		12

	−π		23π
k=1⇔x=		+2π=		i to już koniec
	12		12

Ania: Rozumiem rozwiązanie, jednak zastanawiam się, gdzie popełniłam błąd. Nie wiem dlaczego nie wychodzi to samo moim sposobem

salamandra: sin2x=−1/2 2x=−π/6 + 2kπ ⋁ 2x=−5π/6 + 2kπ Ten fragment jest źle na pewno, już Ci pisałem

Ania: −5π/6 to jest to samo, co 7π/6, bo okres sinusa to 2π Poza tym, dlaczego w swoim rozwiązaniu nie dzielisz stronami przez 2 2kπ?

salamandra: Z gapiostwa

Mila: Przeczytaj uważnie co napisał Saizou.

	11π		11π		√2
sin(		)+cos(		)=−
	12		12		2

	19π		19π		√2
sin(		)+cos(		)=−
	12		12		2

	11π		19π
(		), (		) nie spełniają równania.
	12		12

Nie mając pewności, czy lewa strona jest nieujemna podniosłaś obie strony równania do kwadratu, otrzymałaś dwa "obce" rozwiązania.

salamandra: To teraz i ja zacznę się bać cokolwiek podnosić do kwadratu, bo się okazuje, że nie można

Mila: Można , ale najbezpieczniej ,gdy wiadomo, że obie strony równania są nieujemne. W innym przypadku, trzeba sprawdzać , czy obliczone roz. spełniają równanie.