Sprawdź czy dany wektor należy do przestrzeni. Podprzestrzeń liniowa. Mateusz: Zadanie 1. a) Znajdź bazę zbioru rozwiązań układu równań,

⎧	x1 − 2x2 + x3 + 2x4 + 2x5 = 0
⎩	−3x1 + 7x2 − 4x3 − 2x4 − 6x5 = 0

b) Sprawdź czy wektor [3, 3, −1, −1, 3] należy do tej przestrzeni, jeśli tak, to znajdź jego współrzędne w znalezionej bazie. Zadanie 2. Które z poniższych zbiorów V, W, są podprzestrzeniami R³? a) V = {(x₁, x₂, x₃) ∊ R³ | x₁ − 2x₂ = x₃}, b) W = {(x₁, x₂, x₃) ∊ R³ | x₁ − 2x₂ + (x₃ − 1)² = x²₃}. Podpunkt a) w zadaniu 1 potrafię zrobić, natomiast nie umiem sprawdzić czy wektor należy do tej przestrzeni. Proszę też o wyjaśnienie jak rozwiązać zadanie 2, które zupełnie nie wiem jak zacząć.

jc: (1) Wystarczy sprawdzić, czy współrzędne wektora spełniają układ równań. (2a) to podprzestrzeń. Zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych zawsze tworzy podprzestrzeń (suma rozwiązań jest rozwiązaniem, rozwiązanie pomnożone przez dowolną liczbę jest rozwiązaniem). (2b) to nie jest podprzestrzeń bo (0,0,0) nie należy do W.

Mateusz: jc, mógłbyś mi dokładniej objaśnić podpunkt b) z zadania 1? W jaki sposób mogę do tego dojść? Odnośnie zadania 2, dlaczego zbiór V jest jednorodny? Skąd wziął się wektor [0, 0, 0] w drugim przykładzie?

jc: Nie zbiór jest jednorodny, tylko układ równań liniowych. W zadaniu jest jedno równanie. x−2y−z=0 Jeśli (x,y,z) jest rozwiązaniem, to (kx,ky,kz) też jest rozwiązaniem. Jeśli (x,y,z) oraz (x',y',z') są rozwiązaniami, to (x+x', y+y', z+z') jest rozwiązaniem. Sprawdź sam. W każdej podprzestrzeni powinien się znaleźć wektor (0,0,0).