Granica ciągu albi: Jeszcze do jednej rzeczy mam pytanko przed kolokwium:

	2n + n2
Mam policzyć granicę ciągu an = n√		, dla n→∞ i n ≥ 2
	3n + 2

Więc robię sobie pierwiastek n−tego stopnia w liczniku i w mianowniku i otrzymuję

	n2		n2
limn→∞ n√2n(1 +		), i tu moje pytanie czy mogę stwierdzić że		dla
	2n		2n

n→∞ dąży do zera bo dla n > 4 tak jest i mogę wykazać to z indukcji, czy nie jest to poprawne stwierdzenie

Blee: zauważ, że pomijając 2ⁿ cała reszta jest 'pomijalna' korzystasz z tw. o 3 ciągach:

	2n		n√2n
n√		=		< an < n√2n + 2n
	6n		n√6n

albi: Masz rację, po prostu rzadko wykorzystywałem to twierdzenie i często nie biorę go pod uwagę. Ale mimo wszystko chciałbym wiedzieć czy moje rozwiązanie jest akceptowalne

Blee: ale faktycznie ... dobrze by było wykazać 'na boku' pokazać, że 2ⁿ > n² (dla n−>∞) ponieważ: lim ⁿ√2ⁿ = 2 > 1 = lim ⁿ√n² słaby to dowód ... ale co mi tam

jc: Można nawet tak 2ⁿ < 2ⁿ+n² < (n+1)²2ⁿ

albi: Mogę spytać skąd ta ostatnia nierówność?

albi: Chodzi mi o 2ⁿ + n² < (n+1)²2ⁿ

jc: Zaproponuję coś prostszego. 2ⁿ + n² ≤ n² 2ⁿ + n² 2ⁿ =2n²2^{n n}√2n²2ⁿ=2 ⁿ√2 (ⁿ√n)² →2

albi: To jest jasne, bardzo dziękuję