Działania modulo Nadine: 1. Niech p jest liczbą pierwszą. Pokaż, że zachodzi rozdzielność mnożenia modulo p względem dodawania modulo p w zbiorze 1, p − 1. Wskazówka: skorzystaj z faktu, że dla liczb naturalnych zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć o co chodzi w tym zadaniu bo nie rozumiem chyba

Blee: masz pokazać, że: a*(b+c) (mod p) ≡ (ab + ac) (mod p)

Nadine: A to nie jest oczywiste że a(b+c)=ab + ac

jc: Nie ma znaczenie, czy p liczbą jest pierwsza. Ważny jest prosty fakt: (a+p) mod p = ((a mod p) +b ) mod p i podobnie z mnożeniem. ( a mod p oznacza resztę z dzielenia a przez p)

Nadine: Nie rozumiem niestety, jak mi to pomaga

Nadine: Tam powinno chyba być b w pierwszym nawiasie

Nadine: I wtedy wychodzi 1 =1 przez wstawienie jako a=1 i b=p−1

Nadine: Czy to już jest pokazane?

jc: Może tak: niech [a] oznacza resztę z dzielenia [a] przez p. [x+y] = [ [x]+[y] ], [xy]=[ [x][y] ] [ [a+b]c]=[(a+b)c] [ [ac]+[bc] ]=[ac+bc] Dlatego [ [a+b]c]=[ [ac]+[bc] ].

Justyna: A co ze zbiorem 1,p−1

Adamm: @jc Niech f(a) to reszta z dzielenia a przez p. Ja to widzę tak. Trzeba pokazać, że f(a*(b+c)) = f(ab+ac) − a to już oczywiste.

jc: [a+b], [ab] ∊ {0,1,...,p−1}

Adamm: w końcu, a ≡ b (mod p) oznacza tu dokładnie to, że f(a) = f(b)

jc: Adamm, ja widzę tak samo. Wydawało mi się, że [a] będzie lepiej wyglądać niż f(a), ale może masz rację.

jc: Adamm, f(f(a+b) c) = f(f(ac)+f(bc)). Obie strony są równe f(ac+bc).

Adamm: Bo w zbiorze X = {0, ...., p−1} mamy działania. Jeśli x, y ∊ X, to znajdujemy a, b, takie, że x = f(a), y = f(b), a, b∊Z, i definiujemy x+y := f(a+b) xy := f(ab). To są dobrze określone działania, bo a ~ b ⇔ f(a) = f(b) jest kongruencją tzn. f(a) = f(b) ⇒ f(ac) = f(bc) oraz f(a+c) = f(b+c). Dla x, y, z∊X mamy x = f(a), y = f(b), z = f(c) dla pewnych a, b, c, i wtedy x(y+z) = f(a(b+c)) = f(ab+ac) = xy+xz.

Adamm: Tak naprawdę, to opisałem po prostu pierścień ilorazowy Z/(p) w inny sposób

Adamm: W końcu dzielenie przez kongruencję to to samo co dzielenie przez ideał.

jc: W końcu i tak patrzymy na reszty, a na którym etapie, to nie ma znaczenia.