Matematyka dyskretna - udowodnij, że... Alojzy Ptyś: Witam, mógł by ktoś pomóc w jednym zadaniu z matematyki dyskretnej? Udowodnij przez indukcję, że liczba n⁵−n jest podzielna przez 5 dla wszystkich n ∊ N Dziękuję!

ABC: dowód opiera się opiera na równości: (n+1)⁵−(n+1)=n⁵+5n⁴+10n³+10n²+5n−n=(n⁵−n)+5(n⁴+2n³+2n²+n)

Alojzy Ptyś: A jeżeli mam zadanie podobne: Udowodnij przez indukcję, że liczba 5ⁿ−1 jest podzielna przez 4 dla wszystkich n ∊ N Jak dalej wykonać zadanie (czy w ogóle dobrze zacząłem) n=1 −−> 5¹−1=4 // jest podzielne Założenie −−> 4| 5ⁿ−1=4k Teza −−> 4| 5ⁿ⁺¹−1=3*3ⁿ−1 iii co dalej? Z góry dziękuję za pomoc

ABC: 5ⁿ⁺¹−1=5*5ⁿ−1=4*5ⁿ+(5ⁿ−1)=4*5ⁿ+4k=4(5ⁿ+k)

Des: Tak też będzie dobrze?

	1		1		4		4
5n+1 − 1 = 5 * 5n − 1 = 5*(5n −		) = 5*(5n −		−		+		) =
	5		5		5		5

	4		4
5*(5n −1 +		) = 5*(5n −1) + 5*		= 5*(5n −1) + 4
	5		5

ABC: taksówkarz który ma zawieźć gościa z dworca do hotelu 100 metrów dalej a gość o tym nie wie, jedzie przez całe miasto

Des: Przynajmniej podczas tej podróży będzie mieć okazję 'poznać' kawałek miasta, a kto wie? Może ta wiedza przyda mu się w przyszłości

Alojzy Ptyś: Dziękuje za bardzo szybka pomoc