Całka Gapa32: Całka [x(1−x²)]^1/3 Miałby ktoś pomysł jak się do tego zabrać.

Bleee: Na pewno tak wygląda ta całka? I to ma być całka nieoznaczona

Gapa32: Tak Jest to całka nieoznaczona

Bleee: No to życzę powodzenia. Polecam jeszcze raz sprawdzić czy całka dobrze przepisania. Spodziewał bym się, że ten x nie jest podnoszony do potęgi 1/3.

Gapa32: Wszystko w całce się zgadza. Próbowałem ją ze wzorów na calke z wymienną jakoś uprościć ale nic z tego nie wychodzi.

Gapa32: * Całkę dwumienną

ABC: jest możliwe że funkcja pierwotna da się wyrazić przez wyrażenie gdzie występuje logarytm naturalny i arcus tangens ale to się musi ekspert klasy Mariusza wypowiedzieć . Będzie to raczej w stylu: "po żmudnych ale teoretycznie możliwych do wykonania rachunkach otrzymamy".

Mariusz: No tak jak się liczy całki modnie po amerykańskiemu to się nie wie jak pewne całki policzyć ∫(x(1−x²))^1/3dx=∫x^1/3(1−x²)^1/3dx

	1
m=
	3

n=2

	1
p=
	3

m+1		4   3		1
	+p=		+
n		2		3

2		1
	+		=1 ∊ ℤ
3		3

	1−x2
t3=
	x2

	1
t3=−1+
	x2

	1
t3+1=
	x2

	1
x2=
	t3+1

	−3t2
2xdx=
	(t3+1)2

	3	t2
xdx=−			dt
	2	(t3+1)2

	1−x2
∫x1/3(1−x2)1/3dx=∫x(		)1/3dx
	x2

1		−3t3
	∫		dt
2		(t3+1)2

1		−3t2		1		t		1
	(∫t		dt)=		(		−∫		dt)
2		(t3+1)2		2		t3+1		t3+1

	1	t		1		dt
=			−		∫
	2	t3+1		2		t3+1

	dt		A		Bt+C
∫		=∫		dt+∫		dt
	t3+1		t+1		t2−t+1

1		A		Bt+C
	=		+		dt
t3+1		t+1		t2−t+1

1=A(t²−t+1)+(Bt+C)(t+1) 1=A(t²−t+1)+B(t²+t)+C(t+1) 1=(A+B)t²+(−A+B+C)t+(A+C) B=−A C=2A 3A=1

	1
A=
	3

	1
B=−
	3

	2
C=
	3

	dt		1		dt		1		t−2
∫		=		∫		−		∫		dt
	t3+1		3		t+1		3		t2−t+1

	dt		1		dt		1		2t−1−3
∫		=		∫		−		∫		dt
	t3+1		3		t+1		6		t2−t+1

dt

1

dt

1

2t−1

1

∫

=

∫

−

∫

dt+

∫U{dt}{(t

t3+1

3

t+1

6

t2−t+1

2

	1		3
−		)2+		}
	2		4

dt

1

dt

1

2t−1

2

dt

∫

=

∫

−

∫

dt+

∫

t3+1

3

t+1

6

t2−t+1

3

2t−1   1+( )2   √3

	dt		1		dt		1		2t−1
∫		=		∫		−		∫		dt+
	t3+1		3		t+1		6		t2−t+1

	1		2   dt √3
		∫
	√3		2t−1   1+( )2   √3

	dt		1		1		1		2t−1
∫		=		ln|t+1|−		ln|t2−t+1|+		arctan(		)
	t3+1		3		6		√3		√3

1		−3t3		1	t		1		1
	∫		dt=			−		ln|t+1|+		ln|t2−t+1|−
2		(t3+1)2		2	t3+1		6		12

√3		2t−1
	arctan(		)
6		√3

Teraz trzeba jeszcze wrócić z podstawieniem Można też było najpierw całkować przez części ciekawe czy to coś by uprościło

Mariusz: 25 lis 2019 16:43 Czyżby obliczenia zajęły mi całą godzinę lekcyjną Gdybym próbował wrócić do poprzedniej zmiennej to prawdopodobnie wystąpiłby problem z wyświetleniem tym bardziej że nie ma tutaj texa

Mariusz: 25 lis 2019 16:45 Pod względem metodyki nauczania funkcja podcałkowa nie jest źle dobrana Mamy tutaj trzy główne sposoby całkowania Mamy całkowanie przez podstawienie , całkowanie przez części , liniowość całki Tak rozkład na sumę ułamków prostych działa dzięki liniowości całki

Gapa32: Dziękuję bardzo za rozwiązanie i poświęcony czas.