Całka Ina: Oblicz całkę ∫arccos²xdx

ICSP: dwukrotnie przez części. ∫ (x)' arccos²(x) dx = ...

Leszek: Dwa razy przez czesci !

Ina:

	1
= arccosx*(xarccosx−√1−x2)+∫		*(xarccosx−√1−x2)=
	√1−x2

	xarccosx
arccosx*(xarccosx−√1−x2)+ ∫		− ∫dx
	√1−x2

	xarccosx
i jak rozłożyć na części całkę ∫		?
	√1−x2

Leszek: Ostatnia calke przez podstawienie : arccosx = t ......

Ina: t= arccosx

	−1
dt =		dx
	√1−x2

x= cost −∫cost*t dt = | u=t, dv= cost ; du=1, v=sint| = −tsint +∫cost +C = −arccosx*sinarccosx + sinarccosx + C Dobrze?

Mariusz: Tak jak ICSP proponował , tyle że podał części tylko do pierwszego całkowania Podstawienia nie będą potrzebne

	(−1)
∫ (x)' arccos2(x) dx = xarccos2(x)−∫x(2arccos(x)		)dx
	√1−x2

	−x
∫arccos2(x) dx =xarccos2(x)−2∫		arccos(x)dx
	√1−x2

	(−1)
∫arccos2(x) dx =xarccos2(x)−2(√1−x2arccos(x)−∫√1−x2		dx)
	√1−x2

	√1−x2
∫arccos2(x) dx =xarccos2(x)−2(√1−x2arccos(x)+∫		dx)
	√1−x2

∫arccos²(x) dx =xarccos²(x)−2(√1−x²arccos(x)+∫dx) ∫arccos²(x) dx =xarccos²(x)−2(√1−x²arccos(x)+x)+C ∫arccos²(x) dx =xarccos²(x)−2√1−x²arccos(x)−2x+C

Mariusz: Ina jeśli chodzi o całkowanie przez części to cały czas różniczkujesz arcusa cosinusa ponieważ różniczkując go zmniejszasz jego potęgę

jc:

	arccos x
∫arccos2x dx = ∫x' arccos2x dx = x arccosx+2∫x		dx
	√1−x2

	arccos x
∫x		dx = −∫(√1−x2)' arccos x dx= −√1−x2 arccos x − ∫1dx
	√1−x2