Uprość podany ciąg (Find A Simple Expression For The Following Sum) Wiktoria: S_n = 2*6 + 7*11 + (5n−3)*(5n+1). Nie wiem czy mając to polecenie, mam liczyć sumę ciągu, czy co? A jeżeli policzyć sumę, to jak?

a7: S_n=12+77+25n²+5n−15n−3 S_n=25n²−10n+86

Wiktoria: Więc chodzi po prostu o wymnożenie ostatniego wyrazu tej sumy?

Leszek: Tam chyba powinno byc : S_n = 2*6 + 7*11 + .......+ (5n − 3)(5n +1) ? ?

a7: o wymnożenie i dodanie czyli o uproszczenie tego wyrażenia ("find a SIMPLE expression....")

Wiktoria: Tak Leszku, zagapiłam się.

Leszek: Jest to szereg liczbowy : ∑ ( 5k − 3)(5k + 1) , sumowanie od k =1 do k=n

Adamm:

	n 2		n 1		n 0
Zauważ, że (5n−3)(5n+1) = 25n2−10n−3 = 25n(n−1)+15n−3 = 50		+15		−3

Mariusz: (5n−3)(5n+1)=25n²+5n−15n−3 (5n−3)(5n+1)=25n²−10n−3 (5n−3)(5n+1)=25(n²+3n+2)−85(n+1)+32 Funkcja tworząca ciągu a_n=(5n−3)(5n+1) to

	2		1		1
A(x)=25		−85		+32
	(1−x)3		(1−x)2		1−x

Funkcja tworząca ciągu sum częściowych to

	1
S(x) =		A(x)
	1−x

	50		85		32
S(x)=		−		+
	(1−x)4		(1−x)3		(1−x)2

	25		85
sn=		(n+3)(n+2)(n+1)−		(n+2)(n+1)+32(n+1)
	3		2

	1
sn=		(n+1)(50(n2+5n+6)−255(n+2)+192)
	6

	1
sn=		(n+1)(50n2+250n+300−255n−510+192)
	6

	1
sn=		(n+1)(50n2−5n−18)
	6

Zauważ że powyższy wzór jest dla sumy wyrazów ciągu indeksowanego od zera więc odejmijmy wyraz s₀

	1
sn−s0=		(n+1)(50n2−5n−18)−(−3)
	6

	1
sn−s0=3+		(50n3−5n2−18n+50n2−5n−18)
	6

	1
sn−s0=		(50n3+45n2−23n)
	6

	1
sn−s0=		n(50n2+45n−23)
	6