Pochodne Marcin: Jako że nie lubię przyjmować wszystkiego na wiarę tylko lubię wiedzieć co z czego to mam 2 pytania 1. Z czego wynika to ze badając I pochodną funkcji możemy zbadać jej monotoniczność? Wiem że pochodna to miara "szybkość zmiany wartosci " 2. Z czego wynika że badając II pochodna możemy zbadać jej wypukłość/wklęsłość? Czy na moje pytania jest jakieś logiczne/matematyczne uzasadnienie czy po prostu muszę przyjąć że tak jest?

jc: (1) Twierdzenie o wartości średniej f(b)−f(a)=(b−a)f'(c) gdzie c jest punktem pomiędzy a i b. Stąd funkcja o dodatniej pochodnej jest rosnąca. Odwrotnie, dla funkcji rosnącej iloraz różnicowy jest dodatni, a jego granica nieujemna. (2) Podobnie, definicja plus twierdzenie o wartości średniej.

	f(x+h)+f(x−h)
Dla funkcji wypukłej		> f(x),
	2

a stąd [f(x+h)+f(x−h)−2f(x)]/h²>0, granica h=0 równa jest f''(x) i jest nieujemna. Odwrotnie, jeśli f'' jest dodatnia, to f' jest rosnąca. Dalej należy odpowiednio zastosować twierdzenie o wartości średniej.