Szeregi ABCDEFGHIJKL: Witam, Zbadaj zbieżnośc szeregu:

	(ln(n))k
∑		(od n=1 do ∞) dla k ∊ [ 0,∞]
	n

Wygląda mi to na szereg rozbiezny, jak to uzasadnić ?

Bleee: Dla dowolnego k istnieje taki n₀, że dla n > n₀ zachodzi : (ln(n))^k ≥ 1 W zwiazku z tym powyższy szereg można podzielić na sumę dwóch szeregów (z czego jeden jest skonczony)

	(ln(n))k
Oznaczmy an =
	n

	1
∑∞ an = ∑n0 an + ∑n0+1∞ an ≥ ∑n0 an + ∑n0+1∞
	n

I na mocy kryterium porównawczego....bla bla bla − już chyba wiesz jak dokończyć, prawda

ABCDEFGHIJKL: No domyślam się, że skoro szereg 1/n nie jest zbiezny to skoro an jest wiekszy to rowniez. Jeszcze chciałbym dopytać jedną rzecz w dalszej czesci tego zadania, otóż:

	1
∑(od n=1 do ∞)
	n(ln(n))1+a

i w podpowiedziach mam zapisane żeby skorzystać z kryterium całkowego, czyli tak jak w poprzednich zadaniach zapisuje: " Badamy zbieżność szeregu rozważając funkcje:

	1
f(x) =
	x(ln(x))1+a

która dla a∊ ( −1 , +∞) i x ∊ [1,+∞] jest ciągła, dodatnia i malejaąca, zatem możemy skorzystac z kryterium całkowego " Ale tak troche za bardzo nie ma sensu tego liczyc skoro dla x=1 dziele przez zero, a skoro x=1 nie moze byc, to n=1 tez nie moze byc a jest . Jeśli mi sie dobrze wydaje to dalej nie moge tak z tym isc, dla n=2 bym dalej liczyl całke niewłaściwą w niej by wyszly 2 oznaczone i by mi coś wyszło ale mam to 1 które nie rozumiem dlaczego nie zostało wywalone z dziedziny. (Zadanie 122 z Banasia Wędrychowicza)

jc:

	1
an=		, suma od n=2, dla n=1 mamy dzielenie przez 0.
	n (ln n)a+1

Twierdzenie o zagęszczaniu. a₂ ≥ a₃ ≥ a₄ ≥ ... ≥ 0 ∑a_n jest zbieżny ∑2^ka_2^k jest zbieżny

	1		1		1
W naszym przypadku 2ka2k=		=
	(ln 2k)a+1		(ln 2)a+1		ka+1

	1
Szereg ∑		jest zbieżny ⇔ a>0.
	ka+1

ABCDEFGHIJKL: Czyli mam rozumieć, można to zrobić kryterium całkowym albo o zagęszczeniu tylko trzeba od n=2, a skoro trzeba od n=2 to musze wywalic po prostu n=1 z dziedziny bo jest sprzecznosc ?

ABCDEFGHIJKL: Sory, że się czepim ale jc jak zacząłęś sotoswać to twierdzenie to tam nie powinny być sprawdzone założenia? No bo stosujesz to twierdzenie od poczatku tak jakby spełniało założenia, a co jeśli wezme a=−3 , wtedy jest rosnace, a mimo to stosowane jest twierdzenie jakby nigdy nic i dopiero na końcu wyszło, że dla a>0 jest zbieżny i nie wiem juz jak mam to rozumiec Może po prostu w ten sposób: Szukamy wartosci parametru Q dla którego spełnione są założenia?

ABCDEFGHIJKL: *wartosci a

jc: Jakie byś nie wziął a, od pewnego miejsca ciąg będzie malejący. Dla a≥−1 ciąg jest od początku malejący. W kryterium całkowym też funkcja nie może być byle jaka, tylko powinna być nierosnąca, a tym samym ciąg powinien być nierosnący.