Topologia wuja: Jeśli f: X−>Y i g: X−>Y są ciągłe, to zbiór {x należy do X: f(x)=g(x)} jest domknięty w X. Wiem, że jeśli jakieś funkcję są ciągłe to przeciwobraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty, ale jak to tutaj wykorzystać? Czy może w ogóle inaczej?

Adamm: Niech X = {a, b} i (X, {∅, {a}, X}) to przestrzeń Sierpińskiego. Mamy 3 funkcje ciągłe. Identyczność i funkcje stałe. Niech f(x) = a dla x∊X. Wtedy {x∊X : f(x) = x} = {a} ale {a} nie jest domknięty!

ABC: jeżeli Y jest przestrzenią Hausdorffa to twój zbiór istotnie jest domknięty, pokaż że jego dopełnienie jest otwarte

Adamm: Załóżmy, że Y jest przestrzenią Hausdorffa. Jeśli y∊{x : f(x) ≠ g(x) }, to f(y) ≠ g(y). Istnieją rozłączne otoczenia U, V, takie, że f(y)∊U i g(y)∊V. Wtedy y∊f⁻¹(U)∩g⁻¹(V)⊆{x : f(x) ≠ g(x) }, przy czym f⁻¹(U)∩g⁻¹(V) jest zbiorem otwartym.

ABC: Adamm to wuja miał pokazać a nie ty

Adamm: A tam. Rzadko się jakieś fajne zadanie zdarza.

wuja: Dzięki za pomoc, na zajęciach nie dostałem, aż takich wskazówek co do tego zadania