Indukcja matematyczna Marcin: Udowodnij że 2ⁿ > n⁴ dla każdego n > 17, n∊N O ile indukcję potrafię, tak tutaj nie wiem jak to dobrze zapisać

PW: Prawdopodobnie "indukcję potrafisz", gdy trzeba udowodnić równość. Dowód nierówności wymaga szacowania − pokazania, że coś jest większe od prawej strony. 1° Zaczynamy sprawdzanie od n=18: 2¹⁸ > 18⁴ − nierówność jest prawdziwa (262144 > 104976) Prawdę mówiąc nierówność jest prawdziwa również dla n = 17: 131072>83521. 2° Zakładamy prawdziwość nierówności dla n = k, k>17, to znaczy że 2^k > k⁴ 3° Teza indukcyjna: przy założeniu 2° prawdziwa jest nierówność dla n=k+1: (*) 2^k+1 > (k+1)⁴. Tak to jest "dobrze zapisać". Dowód indukcyjny polega na pokazaniu, że lewa strona (*) jest większa od prawej. Wszystkie chwyty dozwolone.

jc: Mnożąc obie strony równania 2ⁿ > n⁴ przez 2n⁴ > (n+1)⁴ otrzymujemy 2ⁿ*2n⁴ > n⁴(n+1)⁴ lub po skróceniu 2ⁿ⁺¹ > (n+1)⁴ Nierówność 2n⁴ > (n+1)⁴ jest równoważna nierówności (⁴√2−1)n > 1 prawdziwej dla n ≥ 6.

Marcin: Dziękuję bardzo, już rozumiem

PW: I sam widzisz − bez dużego doświadczenia uczeń tego nie wymyśli, szacowanie jest trudne.