Rozważmy równanie... Chariton: Rozważmy równanie x1 + …. + x5 = 20, xi – liczby naturalne nieujemne, i = 1, 2, 3, 4, 5. Liczby występujące w każdym rozwiązaniu porządkujemy od największej do najmniejszej. Czy prawdą jest, że istnieje 30 rozwiązań, które (po uporządkowaniu) są identyczne? Czy prawdą jest, że istnieje 47 takich rozwiązań?

Adamm: liczby naturalne nieujemne?

Chariton: Zapewne o to chodzi, że 0 również należy.

Panek: Wydaję się, że zacząć trzeba od policzenia sumy podziałów 20 na składniki (wtedy, będziemy mieli liczbę rozwiązań uporządkowanych nierosnąco). P(20,1)+P(20,2)+P(20,3)+P(20,4)+P(20,5) = 1 + 10 + 33 + 64 + 84. Tylko co z tym dalej zrobić? Zastosować zasadę szufladkową?

Pytający: Jeśli rozwiązaniem (po uporządkowaniu) jest 5 różnych liczb, to istnieje 5! odpowiadających mu różnych rozwiązań (przed uporządkowaniem). Jeśli rozwiązaniem (po uporządkowaniu) są 4 różne liczby (1 z nich występuje dwukrotnie), to

	5!
istnieje		odpowiadających mu różnych rozwiązań (przed uporządkowaniem).
	2!

Itd. Dlatego możliwe krotności "identycznych rozwiązań" to: • 5!=120 // np. 1+2+3+4+10

	5!
•		=60 // np. 1+1+2+3+13
	2!

	5!
•		=30 // np. 1+1+2+2+14
	2!*2!

	5!
•		=20 // np. 1+1+1+2+15
	3!

	5!
•		=10 // np. 2+2+2+7+7
	3!*2!

	5!
•		=5 // np. 1+1+1+1+16
	4!

	5!
•		=1 // 4+4+4+4+4
	5!

Chariton: A tak nie może być: P(20,5) = 84. W podziale na składniki nie ma zer, więc w f. diopantycznej daję warunek, że każda wartość >= 1 i uzyskuję x1 + x2 + x3 + x4 +x5 = 15 i jest to 3876. Przechodzimy teraz do zasady szufladkowej, a więc: 3876 > r * 84 Największe r całkowite spełniające równanie to 46, więc na mocy zasady szufladkowej wiemy, że istnieje taka pula rozwiązań f.diopantycznej x1 + x2 + x3 + x4 +x5 = 15, których uporządkowanych rozwiązań po uporządkowaniu jest co najmniej 47. W tym wypadku było by prawdą, że istnieje 47 takich rozwiązań.

Chariton: ?

Pytający: Twoje rozumowanie jest ok. Pytanie, jak rozumieć treść zadania (jak widać chyba niezbyt precyzyjną) − czy jeśli jest 120 "identycznych" rozwiązań, to czy "istnieje 47 takich rozwiązań"? Jeśli chodzi o "co najmniej" tyle rozwiązań, to oczywiście na oba pytania z treści odpowiedzią jest "tak", a w ramach uzasadnienia wystarczy podać przykład z największą możliwą liczbą "identycznych rozwiązań" (wyżej 1+2+3+4+10) wraz z uzasadnieniem, że jest ich 5!=120. Tak jak Ty też można, ale zwyczajnie wydaje mi się to przekombinowane w tym przypadku.

Chariton: Prawda, masz rację. Domyślam się, że zamysł był taki, żeby zrobić to zasadą szufladkową (zwłaszcza, że r wychodzi 46, gdy mamy udowodnić 47), bo dopiero co ostatnio była u mnie przerabiana na zajęciach, choć twój sposób jest zdecydowanie szybszy @Pytający: Mam przy okazji pytanie. Czy masz może pomysł na to zadanie (https://matematykaszkolna.pl/forum/393777.html)? Też niestety nie jest zbyt precyzyjne. Jak rozumiem to w tym wypadku przez to, że pojemniki nie są rozróżnialne to zadanie robimy na blokach.

Pytający: Na przyszłość: dorzuć spację po linku, coby działał.