Wykaż, że iloczyn liczby k i 4 kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 24 Frajvald: Witam, mógłby ktoś pomóc z takim zadaniem?: Niech k będzie pewną liczbą naturalną dodatnią. Wykaż, że iloczyn liczby k i czterech kolejnych liczb naturalnych następujących po k jest podzielny przez 24 oraz że w zapisie dziesiętnym otrzymanego iloczynu występuje co najmniej jedno zero. Z wymnożenia k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) wyszło mi k⁵+5k²(2k²+7k+10)+24k Nie wiem jak z tym dalej ruszyć, mógłbym napisać że skoro są to cztery kolejne liczby naturalne to jest wśród nich co najmniej jedna liczba podzielna przez 2, przez 3 i przez 4 a liczba podzielna przez 2,3 i 4 jest podzielna przez 24,ale czy taki opis wystarczy? No i co z tym zerem w zapisie?

Adamm:

	k+4 4		k+4 4
k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 24		, a		∊Z

Frajvald: Sorki ale nie do końca rozumiem to rozwiązanie, po pierwsze jest jakaś metoda na przekształcanie takich iloczynów na symbol Newtona? I rozumiem że taki zapis udowadnia podzielność przez 24 ale czy udowadnia też obecność przynajmniej jednego zera w zapisie

	k+4 4
dziesiętnym? Czy obecność zera jest już udowodniona przez to że po rozwiązaniu 24

wychodzi k⁴+10k³+35k²+50k⁺24 czyli przynajmniej jedna liczba będzie mnożona przez 10 czyli zawsze będzie jedno zero?

Maciess: Wśród 5 kolejnych liczb naturalnych zawsze występują przynajmniej 2 kolejne liczby parzyste i przynajmniej jedna liczba podzielna przez 3. Jedna z tych parzystych jest podzielna przez 4, więc ich iloczyn podzielny przez 8. Dodatkowo liczba podzielna podzielna przez 3 i masz swoją podzielność przez 24. A tu ci rozwinę zapis Adama.

	4!*k!		(k+4)!
k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*		=4!*k*		=
	4!*k!		4*k!

	k+4 4		k+4 4
=4!*k*		=24k

Adamowi się "k zjadło" Symbol Newtona zawsze jest liczbą całkowitą, więc masz twoj iloczyn przedstawiony w postaci 24*p gdzie p to jakas całkowita.

Frajvald: Maciess dzięki wielkie już chyba rozumiem, konkretnie wyjaśniłeś, wciąż tylko nie jestem pewien jak udowodnić to ,że jest zero w zapisie dziesiętnym ale oprócz tego już czaje

jc:

	k+4 5
k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=120*

Wielokrotność 120.

Frajvald: jc Dzięki, teraz już wszystko rozumiem